数列练习题(2.12.3)解析

1数列练习题（2.1——2.3）1．已知一组数1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，按这组数规律，x应为（）A．11B．12C．13D．14答案：C解析：由题意得1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5,3＋5＝8.∴x＝5＋8＝13.2．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项()A．4B．8C．7D．12答案：B解析：∵数列{an}通项公式为an＝2n2－3，∴125＝2n2－3得n＝8.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2nn＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列答案：A解析：∵an＋1＝2n＋1n＋2，∴an＋1－an＝2n＋1n＋2－2nn＋1＝2n＋12－2nn＋2n＋1n＋2＝2n＋1n＋2＞0，∴{an}是递增数列．4.已知数列{an}满足an＋1＝2an0≤an12，2an－112≤an1.若a1＝67，则a2011的值为()A.67B.57C.37D.17答案：A解析：计算得a2＝57，a3＝37，a4＝67，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2011＝670×3＋1，所以a2011＝a1＝67.5．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45答案：B解析：∵a2＋a3＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3.而a4＋a5＋a6＝3a5，a5＝a1＋4d＝2＋12＝14.∴a4＋a5＋a6＝42.6．在等差数列{an}中：a10＝30，a20＝50，则a40＝()A．40B．70C．80D．902答案：D解析：设该数列的公差为d.则d＝a20－a1010＝50－3010＝2.∴a40＝a20＋20d＝50＋20×2＝90.7．等差数列{an}的公差d0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)答案：D解析：由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，d0，⇒a2＝6，a4＝2，⇒a1＝8，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)(－2)．即an＝－2n＋10.8．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a、b的关系是()A．a＝－bB．a＝3bC．a＝－b或a＝3bD．a＝b＝0答案：C解析：由等差中项的定义知：x＝a＋b2，x2＝a2－b22，∴a2－b22＝(a＋b2)2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.9．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值是()A．52B．51C．50D．49答案：A解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴2(an＋1－an)＝1.即an＋1－an＝12.∴{an}是以12为公差的等差数列．a101＝a1＋(101－1)×d＝2＋50＝52.10．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根答案：A解析：由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解．11．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()3A．12B．13C．14D．15答案：B解析：由题意，得5a1＋10d＝25，a1＋d＝3，解得a1＝1，d＝2.于是，a7＝a1＋6d＝1＋12＝13.12．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于()A．9B．10C．11D．12答案：B解析：∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7.d＝a4－a13＝2，Sn＝na1＋nn－12·d＝n＋nn－12×2＝n2＝100∴n＝10.13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案：B解析：∵数列{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.14．(2011·安徽高考)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝（）A．15B．12C．－12D．－15答案：A解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.15．下列说法中，不正确的是________．①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}；②数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列；③数列{n＋1n}的第k项是1＋1k；④数列0,2,4,6,8，…可表示为an＝2n(n∈N*)．答案：①②④解析：①数列1,3,5,7不可写成集合形式，故①错；②数列具有顺序故②不正确；③数列{n＋1n}第k项为k＋1k＝1＋1k正确；④数列0,2,4,6,8，…应表示为an＝2n－2(n∈N*)．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．4答案：4n＋2解析：法一：第1个图案有白色地面砖6块，第2个图案有10块，第3个图案有14块，可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖．∴第n个图案有6＋4(n－1)＝4n＋2块．法二：第一个图案有白色地面砖3×2块，第二个图案有5×2块，第三个图案有7×2块，…，∴第n个图案有(2n＋1)×2＝4n＋2块．17．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________.答案：2n－11解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；当n1时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.又2×1－11＝－9＝a1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－11.18．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．答案：18解析：设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，∴6a1＋(n＋12)d＝24.又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以n＋126＝5，n＝18.19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14，且Sn＝Sn－1＋an－1＋12(n∈N*，n≥2)则数列{an}的通项公式为________答案：an＝12n－14解析：由Sn＝Sn－1＋an－1＋12得Sn－Sn－1＝an－1＋12，即an－an－1＝12(n∈N*，n≥2)，则数列{an}是以12为公差的等差数列，∴an＝a1＋(n－1)×12＝12n－14(n∈N*)．520．(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.答案：10解析：法一：S9＝S4，即9a1＋a92＝4a1＋a42，∴9a5＝2(a1＋a4)，即9(1＋4d)＝2(2＋3d)，∴d＝－16，由1－16(k－1)＋1＋3·(－16)＝0得k＝10.法二：S9＝S4，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴a7＝0，从而a4＋a10＝2a7＝0，∴k＝10.21．(2011·福建高考)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7为所求结果．22．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．解：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解得a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.23．某市2011年底绿地面积为560平方千米，预计每年都比上一年新增绿地面积4平方千米，问到2021年底该市绿地面积为多少平方千米？解：将该市从2011年起每年年底的绿地面积依次排成数列，记为{an}，由题意可知{an}为等差数列，其中a1＝560，d＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝4n＋556.62021年底的绿地面积在数列{an}中是第11项，所以a11＝556＋4×11＝600(平方千米)．答：到2021年底该市绿地面积为600平方千米．24．已知递增的等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝15，a2a3a4＝105，求a1.解：∵{an}是等差数列，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝15.∴a3＝5.∴a2＋a4＝10.∴a2a3a4＝5a2a4＝105.即a2a4＝21.即a2a4＝21，a2＋a4＝10，∴a2＝3，a4＝7，或a2＝7，a4＝3.又{an}是递增数列，∴a4＞a2，即a2＝3，a4＝7.∴d＝a4－a24－2＝7－32＝2.∴a1＝a2－d＝3－2＝1.25．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{Snn}的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋12n(n－1)d.∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝7，15a1＋105d＝75.即a1＋3d＝1，a1＋7d＝5.解得a1＝－2，d＝1.∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)．∵Sn＋1n＋1－Snn＝12，∴数列{Snn}是等差数列，其首项为－2，公差为12.∴Tn＝14n2－94n.26．等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．解：数列{an}的公差d＝a17－a117－1＝－12－－6016＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.由an0，得3n－630，即n21.∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．设Sn、S′n分别表示数列{an}、{|an|}的前n项和，7当n≤20时，S′n＝－Sn＝－[－60n＋nn－12×3]＝－32n2＋1232n；当n20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋nn－12×3－2×(－60×20＋20×192×3)＝32n2－1232n＋1260.∴数列{|an|}的前n项和为S′n＝－32n2＋1232nn≤20，32n2－1232n＋1260n＞20.27．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＝2S2n2Sn－1(n≥2)，求an.解：当n≥2时，将Sn－Sn－1＝an代入式子an＝2S2n2Sn－1，得Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1.整理，得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1.两边同除Sn·Sn－1得1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．∴数列{1Sn}是以2为公差的等差数列．则1Sn＝1S