数字信号处理第三版教材第六章习题解答

16.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6pfkHz，通带最大衰减3padB，阻带截止频率12sfkHz，阻带最小衰减3sadB。求出滤波器归一化传输函数()aHp以及实际的()aHs。解：（1）求阶数N。lglgspspkN0.10.30.12.51011010.0562101101psaspak332121022610sspp将spk和sp值代入N的计算公式得lg0.05624.15lg2N所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数()aHp，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()aHp为54321()3.23615.23615.23613.23611aHpppppp或221()(0.6181)(1.6181)(1)aHpppppp当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4kjNkpek按（6.11）式写出()aHp表达式2401()()akkHppp代入kp值并进行分母展开得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数()aHp得到实际滤波器系统函数()aHs。由于本题中3padB，即32610/cprads，因此()()aacHsHpsp5542332453.23615.23615.23613.2361ccccccsssss对分母因式形式，则有()()aacHsHpsp52222(0.6180)(1.6180)()ccccccsssss如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率3pfkHz，通带最在衰减速0.2padB，阻带截止频率12sfkHz，阻带最小衰减50sadB。求出归一化传输函数()aHp和实际的()aHs。解：（1）确定滤波器技术指标：0.2padB，32610/ppfrads350,22410/sssadBfrads1,4spsp3（2）求阶数N和：1()()sArchkNArch0.110.11011456.65101spaak(1456.65)3.8659(4)ArchNArch为了满足指标要求，取N=4。0.11010.2171pa（2）求归一化系统函数()aHp411111()2()1.7386()aNNkkkkHppppp其中，极点kp由(6.2.38)式求出如下：(21)(21)()sin()()cos(),1,2,3,422kkkpchjchkNN1111()()0.558040.2171ArshArshN1(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.44381.071588pchjchj233(0.5580)sin()(0.5580)cos()1.07150.443888pchjchj355(0.5580)sin()(0.5580)cos()1.07150.443888pchjchj477(0.5580)sin()(0.5580)cos()0.44381.071588pchjchj（3）将()aHp去归一化，求得实际滤波器系统函数()aHs()()aacHsHpsp4444111.7368()1.7368()pppkkkkspss其中3610,1,2,3,4kpkksppk，因为4132,pppp，所以44132,ssss。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。16222211227.268710()(2Re[])(2Re[])aHsssssssss162482487.268710(1.6731104.779110)(4.0394104.779010)ssss4.已知模拟滤波器的传输函数()aHs为：(1)22()()asaHssab；(2)22()()abHssab。式中，a,b为常数，设()aHs因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器()Hz。解：该题所给()aHs正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的()aHs的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。（1）22()()asaHssab()aHs的极点为：1sajb，2sajb将()aHs部分分式展开（用待定系数法）：122212()()aAAsaHssabssss12211212212222()()()()()AssAssAAsAsAssabsab比较分子各项系数可知：A、B应满足方程：51212211AAAsAsa解之得1211,22AA所以21()1()110.50.5()111kksTajbTajbTkAHzezezez1122()()()aHssajbsajb21()1()110.50.5()111kksTajbTajbTkAHzezezez按照题目要求，上面的()Hz表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将()Hz的两项通分并化简整理，可得11221cos()()12cos()aTaTaTzebTHzebTzez用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。（2）22()()abHssab()aHs的极点为：1sajb，2sajb将()aHs部分分式展开：1122()()()ajjHssajbsajb()1()10.50.5()11ajbTajbTjjHzezez通分并化简整理得61122sin()()12cos()aTaTaTzebTHzebTzez5.已知模拟滤波器的传输函数为：（1）21()1aHsss；（2）21()231aHsss试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。解：（1）用脉冲响应不变法①21()1aHsss方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，()aHs的极点为：130.52sj，230.52sj3333()33(0.5)(0.5)22ajjHssjsj33(0.5)(0.5)11223333()11jTjTjjHzezez代入T=2s(13)1(13)13333()11jjjjHzezez11112223sin3312cos3zezeez方法2直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对()aHs的分母配方，将()aHs化成4题中的标准形式：22(),()abHsccsab为一常数，由于7222213131()()()2422ssss所以22213/223()1313()()22aHsssss对比可知，13,22ab，套用公式得112223sin()()T=2312cos()aTaTaTzebTHzebTzez11112223sin3312cos3zezeez②211-1()=+231s+0.5s+1aHsss-0.5T-1-T-11-1H(z)=+T=21-ez1-ez-1-1-2-11-1=+1-ez1-ez或通分合并两项得-1-2-1-1-2-1-32(e-e)zH(z)=1-(e+e)z+ez（2）用双线性变换法①11()()21,21aHzHszsTTz11211111()111zzzz12121112(1)(1)(1)(1)(1)zzzzz122123zzz8②11()()21,21aHzHszsTTz112111112()3111zzzz1212212(1)2(1)3(1)(1)zzzz1211262zzz7.假设某模拟滤波器()aHs是一个低通滤波器，又知11()()azszHzHs，数字滤波器()Hz的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。（1）0w(低通)；（2）w（高通）；（3）除0或外的某一频率（带通）。解：按题意可写出()()11aHzHszsz故cos112cot112sin2jwjwjwwzewsjjjwzeze即cot2w原模拟低通滤波器以0为通带中心，由上式可知，0时，对应于w，故答案为（2）。9.设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB之内；频9率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。解：本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：0.2,10.3,10ppsswradadBwradadB采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：0.21000200(/),10.31000300(/),10pppssswradsadBTwradsadBT（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数()aHp：lglgspspkN0.10.10.111011010.1696101101psaspak3001.5200sspplg0.16964.376lg1.5N取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：401()()akkHppp040.30900.9511pjp130.80900.5818pjp21p将()aHp部分分式展开：40()kakkAHppp10其中，系数为：00.13820.4253,Aj10.80911.1135,Aj21.8947,A30.80911.1135,Aj40.13820.4253Aj（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数()aHs。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率c。1210.110(101)300(101)756.566(/)Nsacsrads4400()()ckkaakkcckkABsHsHppspss其中,kckkckBAsp。（3）用脉冲响应不变法将()aHs转换成数字滤波器系统函数()Hz：4310(),1101kksTkBHzTmssez3410101kkskBez我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数kA或kB相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。