数学1.3.1《函数的单调性与导数(二)》教案(新人教A版选修2-2)

-1-1.3.1函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴y＝x3－9x2＋24x；⑵y＝x－x3．（4）f(x)＝2x3－9x2＋12x－32．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．3．在区间(a,b)内f'(x)＞0是f(x)在(a,b)内单调递增的(A)A．充分而不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x－lnx(x＞0)；(2))253log()(2xxxf(3)32)1)(12(xxy.（4）)3ln()(bxxf（b0）（5）判断)lg()(2xxxf的单调性。分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32yxaaxaxa的单调减区间.（2）讨论函数2()(11,0)1bxfxxbx的单调性.（3）设函数f(x)=ax–(a+1)ln(x+1)，其中a≥–1，求f(x)的单调区间.（1）解：y′=x2–(a+a2)x+a3=(x–a)(x–a2)，令y′＜0得(x–a)(x–a2)＜0.（1）当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；（2）当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2,a)；（3）当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a,a2)；-2-（4）a=0，a=1时，y′≥0此时，无减区间.综上所述：当a＜0或a＞1时的函数3223211()32yxaaxaxa的单调减区间为(a,a2)；当0＜a＜1时的函数3223211()32yxaaxaxa的单调减区间为(a2,a)；当a=0，a=1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bxbxfxfxxx，∴f(x)在定义域上是奇函数.在这里，只需讨论f(x)在(0,1)上的单调性即可.当0＜x＜1时，f′(x)=2222222221(1)21()1(1)(1)xxxxxxbbbxxx=2221(1)xbx.若b＞0，则有f′(x)＜0，∴函数f(x)在(0,1)上是单调递减的；若b＜0，则有f′(x)＞0，∴函数f(x)在(0,1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：当b＞0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递减的；当b＜0时，函数f(x)在(–1,1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f(x)的定义域为(–1,+∞)，且1()1axfxx(a≥–1).（1）当–1≤a≤0时，f′(x)＜0，函f(x)在(–1,+∞)上单调递减.（2）当a＞0时，由f′(x)=0，解得1xa.f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x1(1,)a1a1(,)af′(x)–0+f(x)↘极小值↗从上表可知，当x∈1(1,)a时，f′(x)＜0，函数f(x)在1(1,)a上单调递减.当x∈1(,)a时，f′(x)＞0，函数f(x)在1(,)a上单调递增.综上所述，当–1≤a≤0时，函数f(x)在(–1,+∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在1(1,)a上单调递减，函数f(x)在1(,)a上单调递增.作业：《习案》作业八。