数学史教案2

中国传统数学成就•社会历史背景条件相对封闭的疆域大河背景下的农耕文化集中的王权•中国数学的特点形成了以计算为核心的算法理论具有浓郁应用色彩•中国数学的成就两部数学著作《周髀算经》《九章算术》（大约公元前二百年左右）公元3世纪至13世纪，创造了许多领先于其它民族的众多数学成果,形成国家数学教育的体制西安半坡遗址中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类活动，那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。2.1《周易》与中国传统数学《周易》是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期,在古代中国众多的儒、道典籍中，《周易》是包含数学内容最丰富的著作。“卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。“筮”是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶,“筮”字由“竹”字和“巫”字构成。后来改用蓍草,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。”《周易》由《易经》和《易传》两部分组成。自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与《周易》相联系。刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。”2.1.1从数(表)演进为爻《易经》中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“—”与“－－”表示阳爻和阴爻。构成八卦、六十四别卦研究认为，《周易》中爻的符号“—”、“－－”是由数字或数表演进而来的。理由是：其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九”和“六”分别表示阳爻和阴爻。其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋势。大约在周初（约公元前1066），就只有一和六这两个数字了。学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一”表示奇数，读数九的音；数“六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是“∧”，这样数“一”与“∧”就具有爻的形象了。以后“∧”字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻“－－”的表示形式。2.1.2《周易》揲法——大衍演算《周易》中占筮确定取爻的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得一卦”。朱熹（1130~1200）对揲法的解说如下：（1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是49根；（2）把它们任意分成两部分（象征天地“两仪”），从第一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）；（4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）；（5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根，完成了“第一变”。将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与第二变的计算，操作方法仿上述（2）~（5），此时“归奇”的蓍数仍然是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下蓍策的根数或36，或32，或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。算筹中国古人称数学为算学“数学”一词相当于我国古代的“算术”数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。2.1.3组合数学的思想——洛书与河图“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”河图的解释，在历史上有多种说法。其中《尚书》中解释说：“河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。”图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同2.2先秦显学中的数学思想儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》的逻辑学为其论说的工具。•孔子（前551~前479）的“六艺”中的“周官九数”（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要）是《九章算术》的雏形•墨子（前468~前376）的抽象概念和逻辑知识：三个逻辑方法:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予”，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。•惠施（约前370~前318）对无穷性质的认识：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；“镟矢之疾有不行不止之时”。2.3中国传统数学理论的研究数学发展的主要阶段自秦汉时期开始、至元代中期止，正值西方数学停滞不前的这个时期内，中国传统数学主要的发展阶段：◎数学知识体系的形成时期（公元前3前世纪末至公元1世纪初）；◎以理论研究为重点的发展时期（公元1世纪初至8世纪初）；◎传统数学发展的黄金时期（公元11世纪至14世纪初）。2.3.1中国的《周髀算经》（公元前200年成书）宋刻本《周髀算经》，（西周，前1100年）（上海图书馆藏）《周髀算经》中关于勾股定理的记载第24届“国际数学家大会”会标宋刻本《周髀算经》，（上海图书馆藏）第24届“国际数学家大会”（ICM）为2002北京“国际数学家大会”发行的纪念邮资明信片JP108《周髀算经》中的“勾股定理”（约公元前700年）《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如图2.3.2中国传统数学名著《九章算术》按史料记载，秦汉年间形成了《九章算术》的雏形。此后西汉的官员出于管理的需要，不断对之进行补充，使之成为比较完善的官方管理手册。王莽新政时期《九章算术》成为定本。《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的《九章算术注》自序中可以知道：他早年系统地学习过《九章算术》，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了《九章算术注》2.3.2中国传统数学名著《九章算术》按史料记载，秦汉年间形成了《九章算术》的雏形。此后西汉的官员出于管理的需要，不断对之进行补充，使之成为比较完善的官方管理手册。王莽新政时期《九章算术》成为定本。《九章算术》是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于263年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的《九章算术注》自序中可以知道：他早年系统地学习过《九章算术》，并以“注”的形式将其研究成果记载下来，完成了《九章算术注》《九章算术》是以应用问题集的形式表述，全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出“术”。全书共有202个“术”。术，是一类问题的一般算法描述，一共收入246个问题。在编排上，把246个问题分为九章：第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第三章衰分（比例分配）第四章少广（开平方与开立方）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）《九章算术》是对古代中国数学知识的系统整理和传承发展。并非只涉及今天我们所说的“算术”内容。有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式、开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，形成了以计算为中心的中国传统数学特点。确立了以术文（公式、解法）挈领应用问题的基本形式。刘徽在《九章算术注》中，开始了其独特的推理论证的尝试。标志着中国传统数学形成了独有的理论体系。《九章算术》的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”。•《九章算术》标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法•《九章算术注》对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定《九章算术注》丰富了《九章算术》的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”“中国古代数学第一人”刘徽（约公元3世纪）割圆术以率推导“术”《九章算术注》充分利用率的概念和性质对许多算法的正确性进行了证明，率的概念，在中国传统数学中是分数的概念，刘徽推广了中国古代数学中率的概念，他给出率的定义是：“凡数相与者（指线性相关）谓之率。”他“令每行为率”，这与现今的行向量概念相近。从这个定义出发，刘徽给出率的重要性质：“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”。在此基础上，提出乘、约、齐同三种等量变换。其中，齐同术的定义是：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同”，例如对分数a/b和c/d通分时，《九章算术》用ad和cb做分子，bd做公分母。刘徽把ad和cb定义为“齐”；把bd定义为“同”。盈不足术“盈不足”的典型问题是：要凑钱买一样东西，若前、后两次每人付款数为a1和a2个钱，加在一起，则第一次总数比物价多b1钱；第二次比物价少b2钱。问人数、物价各是多少？盈不足术解之：依题目条件，如果买b2个物，每人付a1b2，总付款数比物价数要多出b2b1；买b1个物，每人付a2b1，总付款数比物价数少出b2b1。那么每人共付a1b2+a2b1，买了b2+b1个物，就没有盈亏。故有每人应付款数为：又，题中付款总数从盈变到不足，付款总数变化幅度是b1+b2，这种变化是由于每个人前后两次付款数有幅度a1－a2的变化所引起的。故下式成立。人数为进而物价为方程术122112,ababbb121212()bbaaaa＞122112ababaa－＋—刘徽用率给出方程的定义：群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。—刘徽对线性方程组求解的相减消元法的合理性做了理论的分析。其中阐明了方程变形的性质：如“举率以相减，不害余数之课也”。—使用了代入法并创立了“互乘相消法”（也称为“齐同术”）求解线性方程组。如，方程章第7题及其解法如下：“今有牛五、羊二，值金十两。牛二、羊五、值金八两。问牛、羊各值金几何？”刘徽在注文中指出此题可以用相减消元法求解，但他却详尽地记述了齐同术解法。对于刘徽的注文，我们用现代的方式表述如下：即牛、羊一头的直金数分别为两和两。1010052542124025100524218102202020100互乘相消约