数学专题1 三角函数式的化简与求值

1三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。22、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角3①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝42、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；.推论2（万能公式）：；.推论3（半角公式）：；5；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得，∴应填（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝6②∴由左边＝右边得，∴应填点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。（2）对于含有清一色的两切值的三角式，除用“切化弦”外，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.解：7（1）原式＝（2）解法一（利用关于正切的倍角公式）：注意到∴∴原式＝＝＝＝＝cot20°解法二（利用掌握的典型关系式）：注意到（证明从略）∴原式＝＝＝＝cot20°8点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.例3.（1）已知，求的值；（2）已知分析：对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入，以准确已知的延伸方向.解：（1）由已知得∴注意到∴由已知得（至此，目标的变形方向明确）于是有原式＝9＝（2）由已知得原式＝＝＝①（至此寻求的目标明确）又∵∴∴②于是②代入①得，原式＝.点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性.例4.（1）已知（2）已知（3）已知10（4）已知分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.解：（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式：（和差与倍半的综合关系）∴＝①∵∴∴②③∴将②③代入①得（2）注意到这里有关各角的关系式：11（和差与倍半的综合关系）∴＝①∵∴∴又②∴③∴将②③代入①得于是有.（3）注意到这里有关各角之间的关系式∴∴①∵12∴又②∴③∴将②③代入①得，故得（4）解法一（从寻找两角与的联系切入）：由已知得：①∵∴②③此时注意到在内单调递增.∴由①②③得∴于是得.解法二（从已知式的化简切入）13由已知得④∵∴∴由④得⑤于是再由及⑤得.点评：对于（1）（2），侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系；对于（3），侧重特殊角来建立有关各角的关系式；对于（4），既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值未知三角函数值；又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值有关角的量值未知三角函数值例5、(1)设（2）设分析：（1）注意到未知式的复杂，考虑从化简和认知目标切入，以明确已知条件的延伸方向：14原式＝，故解题从求突破.（2）在分析与变形目标中发现上，下面两式的联系：原式＝，故解题从求突破.解：（1）原式＝①∵∴∴由得∴②∴③④于是将②③④代入①得原式＝（2）原式＝⑤∵∴15∴由得∴⑥又注意到⑦∴将⑥⑦代入⑤得，原式＝点评：（1）（2）两题的条件与目标相似，此时解题可谓“仁者见仁，智者见智”，不同的关注点，引出不同的切入点和突破口.例6、（1）已知，且（2）已知（3）已知分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决.对于（1）着眼于目标，故从求切入；对于（2）着眼于目标，故从求切入与突破；对于（3），由已知导出的函数值，方向不明，此时注意到16，故转而考虑从寻觅的方程与求解入手.解：（1）∵，①②则①2＋②2得∴③又此时注意到①中，故得④于是由③④得因此有点评1：本题容易引发的错解为由③得，因而有，错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值，而未能利用已知数据的符号.事实上，三角条件求值的特色之一，是在求解过程中常常将已知数据的绝对值（或本身）与已知数据的符号分开（或重复）使用.本例的解答便是这一“分开17使用”的示范.（2）①由②③∴②2＋③2得∴④又③2－②2得⑤∴④代入⑤得⑥于是将④⑤代入①得，原式＝（3）由①∴又由②18∴将①②联立方程组，解得∴点评2：求解（2）（3）的共同之处，是首先认知目标，而后有的放矢地去求索，认知目标以明确寻求的方向，此为条件求值的基本原则；不过，当目标有不同的“面孔”时，需仔细斟酌与选择追求的对象.四、高考真题（一）选择题1、（2005江苏卷）若B.C.D.分析：由∴∴应选A.2、（2005浙江卷）已知k－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（）A.1B.－1C.2k+1D.–2k+119分析：y＝2cos2x＋kcosx－k－1＝2（cosx＋）2－（）∵k－4，∴－1又－1≤cosx≤1∴当cosx＝1时，y取最小值1，故选A.应选A.（二）填空题1、（2005全国卷II）设分析：注意到已知条件中的角与目标中的角之间的联系由已知得∴①∴∵②又为第四象限角∴由②得③20于是由①③得，（三）解答题1、（2005广东卷）化简，并求函数f（x）的值域和最小正周期.分析：欲求f（x）的值域和最小正周期，第一选择是将f（x）化为的形式.解：＝＝＝＝＝＝4cos2x即f（x）＝4cos2x（x∈R）∴f（x）的最小正周期T=；21又－1≤cos2x≤1（x∈R）∴f（x）的值域[－4，4]。点评：本题从考查三角函数的诱导公式、和（差）角公式、以及三角函数的周期和值域切入，重点考查f（x）向一般形式的化归和转化能力.2、（2005浙江卷）已知函数f（x）＝（1）求的值；（2）设分析：为便于计算或化简，在可能的情况下，以首先将f（x）化为的形式为上策.解：运用倍角公式得＝＝（1）＝22＝＝0（2）∴∴＝＝∵∴∴点评：若f（x）是形如的sinx，cosx的二次齐次式，则一般要将f（x）化为的形式后求解.3、（2005福建卷）已知（1）求的值；（2）求的值.分析：已知的值，要求sinx，cosx或可用sinx，cosx表出的三角式的23值，典型解法之一是“配对”解法，即先求的值，而后将上述两式联合，解出sinx，cosx的值再作道理.而本题恰是为了解（2）作了铺垫.解：（1）对于①由①式两边平方得∴②∵，∴cosx＞0，sinx＜0∴sinx－cosx0∴由②得sinx－cosx＝－③（2）将①③联立，解得∴原式＝点评：注意到由①2得，故这里只利用了已知数值的绝对值，对于比较复杂的问题，还要注意利用这里的或的符号，据此来进行筛选或认定相关24三角式的取值.对此，请大家参见本专题经典例题，以强化这一方面的认知.4、条件求值系列：（1）已知（2）（已知（3）已知，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.分析：注意到（1）中已知等式复杂，故从化简和认知“已知”切入；而（2）中“已知”与目标疏远，故首先从已知中角的关系入手主动靠拢目标，而后视具体情况再决定下一步的动作；至于（3），易见应从化简和认知目标切入，利用（ⅰ）的结果更为简便.解：（1）由已知得∴①由已知得，，∴，即∴tan，∴由①得∴＝＝＝25（2）注意到互为余角，由已知得②∵∴∴由②得于是有原式＝＝＝＝＝=(3)(ⅰ)由已知得，由此解得(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝点评：对于（1），解题有两大障碍：一是，认知与化简已知，导出；二是，自行推导关于的表达式（即人们常说的万能公式）.解题策略值得领悟与借鉴.26对于（2），从互为余角切入，乃是简化解题过程的关键环节.此外，因势利导求出角，虽属特例，但也展示了三角解题的灵活性