数学专题18含有参数的不等式问题

1高中数学高考总复习专题十八含有参数的不等式问题众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。一、立足于“直面求解”解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。例1.设关于x的不等式（1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m20,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为axb型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。解：（1）由题设，原不等式m（x+2）m2+(x-3)(mR，m≠0)(m-1)xm2-2m-3(1)∴当m1时，由（1）解得当m=1时，由（1）得xR;当m1且m≠0时，由（1）解得∴当m1时，原不等式的解集为当m=1时，原不等式的解集为R当m1且m≠0时，原不等式的解集为（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得2∴此时m的取值范围为{5}（3）注意到x=3为不等式的解，将x=3代入（1）得：3（m-1）m2-2m-3m2-5m00m5∴此时所求m的取值范围为（0，5）点评：对于（2），已知含参不等式的解集，要求的是所含参数m的取值范围。对此，我们正是立足于（1）直面求解，由已知解集的特征断定m-10以及，m的取值或取值范围由此而产生。例2．已知关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x=-2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。解：不等式x2-x-20(x+1)(x-2)0x-1或x2∴不等式x2-x-20的解集A=（-∞，-1）∪（2，+∞），显然-2∈A不等式2x2+(2R+5)x+5R0(x+R)(2x+5)0①设这一不等式的解集为B，则由-2B，得：（-2+R）（-4+5）0R2②注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1=-R，，∴(1)当时,由①得,即此时-2B(2)当时,由①得∵{x|xA∩B,xZ}={-2}∴③于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2）点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集为B，而后首先由-2B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。二、致力于“化生为熟”化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对3所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。例1.若不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。解：不等式[（a-1）x+1](x-1)0[（1-a）x-1](x-1)0①解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a0且1-a≠1以下以①式左边多项式的根与1的大小为主线展开讨论：（1）当01-a1即0a1时，∴由①得x1或∴由题设条件得（2）当1-a1，即a0时∴由①得或x1这与题设条件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范围为{}解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）原不等式[（1-a）x-1](x-1)0又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根∴4∴所求a的取值范围为点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形”一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集为（-∞，x1）∪(x2,+∞),则必需（1）a·c0（2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；例2.若不等式的解集为(-3,-1)∪[2,+∞）,求实数a的值分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用.解:原不等式(x+a)(x2+4x+3)≥0(x2+4x+3≠0)(x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且x≠-3)设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3且x≠-1)则原不等式f(x)≥0由题设知x=2为方程f(x)=0的根,∴f(2)=0a=-2∴所求实数a=-2点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c0的解集与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。例1.若对中的一切实数a，满足不等式b的x也满足不等式,求正实数a的取值范围。分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解”之间的关系转化为两个集合之间的关系，首先从化简两个不等式的解集切入解：设集合A={x||x-a|b}则：A=(a-b,a+b)（1）设集合则：（2）5由题设知A≤B，故由①，②得：注意到又∴由(3)得(5)同理由(4)得(6)再注意到这里b0,于是由(5)、（6）得b的取值范围为。点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。例2.要使满足关于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一个，求实数a的取值范围。分析：根据例1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。解:设A={x|x2-4x+30}，则A=（1，3）；B={x|x2-6x+80},则B=（2，4）；∴A∪B=（1，4）设C={x|2x2-9x+a0},则由题设得CA∪B，即C（1，4）又设f(x)=2x2-9x+a则f(x)的图象是以直线为对称轴且开口向上的抛物线∴由C（1，4）得{x|f(x）0}(1,4)于是可知实数a的取值范围为点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系：CA∪B；第二次是注意到2x2-9x+a0为二次6不等式，于是在CA∪B=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利在望。配伍练习：已知三个不等式：（1）|2x-4|5-x;（2）（3）2x2+mx-10，若同时满足不等式（1）、（2）的x也满足（3），求m的取值范围。点拨：此题的题面与例2颇为相似，若设不等式（1）、（2）、（3）的解集分别为A、B、C，则转化为有关集合间的关系，也颇为顺畅；只是在立足于A∩BC实施第二次转化时会遇到新的情况，如何完成第二次转化？请同学们实践中品味和感知。3、化生为熟之三：转化为二次不等式在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件乃是我们正面解决含参不等式问题的唯一的理论依据:ax2+bx+c0对任何xR恒成立a0且Δ=b2-4ac0;ax2+bx+c0对任何xR恒成立a0且Δ=b2-4ac0;而与上述不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的,是在其基础上滋生出的关于最值的命题：μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值或μ≤f(x)的下确界μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值或μ≥f(x)的上确界例1.（1）若对于任意XR恒有,求m的值（2）已知不等式|x+1|+|x-2|m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）注意到对任意xR，总有x2+x+10∴对任意xR恒成立对任意xR恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立对任意xR恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立注意到mN*，∴m=17（2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)m对一切实数x恒成立mf(x)的最小值（1）∵f(x)=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3(当且仅当-1≤x≤2时等号成立)∴f(x)的最小值为3（当且仅当x[-1，2]时所得）（2）于是由（1）（2）得m3，即所求的取值范围为。例2.若不等式对一切xR恒成立，求实数的取值范围。分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒成立问题）。解：不等式注意到∴原不等式对一切xR恒成立-5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)对一切xR恒成立∴所求m的取值范围为（-11，9）点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术.例3.已知三个关于x的不等式：(1)|2x-4|5-x;(2);(3)2x2+mx-10若同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），试求m的取值范围。分析：本例的条件与结论与例2颇为相似，于是考虑由例2的解题思路切入并延伸。8解：将（1）（2）联立，得：0≤x1或2x3设不等式（1）的解集为A，（2）的解集为B（3）的解集为C则有A∩B=[0，1）∪（2，3）由题设知，即[0，1）∪（2，3）C∴再由题设知，当x[0，1）∪（2，3）时，不等式（3）恒成立当x[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-10恒成立注意到当x=0时，2x2+mx-10显然成立，∴当x[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-10恒成立设则由1）得mg(x)恒成立mg(x)的最小值或m≤g(x)的下确界注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)内为减函数∴g（x）g(3)又g(x)的下确界为∴由（2）（3）得，即所求m的取值范围为点评：题面与第一步的转化都与前面的例2“有着惊人的相似之处”，但是第二步的转化却有着明显的差异：前者是转化为已知二次函数f(x)0的解区间（1，4）的充要条件，后者是转化为含参不等式的恒成立问题，大家在解题与总结时要注意比较品悟，这些“形似”但“神不似”的问题三、借重于“变量转换”当我们面对生疏复杂的无理函数或复合函数问题时，循着哲学中“量变促质变”的原理，可借重“变量替换”这一量的变换，促使有关问题向其对立的方向转化，转化为我们所熟悉的有理函数或比较简单的问题，以“量变”促发“质变”，乃是我们解决比较复杂问题的基本策略之一.9例1.若不等式的解集为（4，b），求a,b的值分析：此类问题在一元二次不等式板块中经常出现。注意到我们对一元二次不等式的认知：ax2+bx+c0的解集为（x1,x2）a0且x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。ax2+bx+c0的解集为（-∞,x1）∪（x2,+∞）a0且x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。于是由此不等式所含的数和ax想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。解：设t=，则t≥0且原不等式∴由题设知关于t的不等式(t≥0)的解集为（2