数学中的“有限与无限”的思想

数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}na在中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,ab为常数，则limnnnnnabab的值是.【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数,ab的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim0(||1)nnqq)来解决新的极限问题.【答案】由542nan知，{}na是公差为4的等差数列，故123(1)422nnnaaan2anbn，解得2a，12b，从而11()1()4limlimlim111()1()4nnnnnnnnnnnbabababa.2.已知数列na满足1aa,111nnaa我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当1a时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1当21a时,得到有穷数列：0,1,21.（Ⅰ）求当a为何值时40a；（Ⅱ）设数列nb满足11b,11()1nnnNbb，求证：a取数列nb中的任一个数，都可以得到一个有穷数列na；（Ⅲ）若)4(223nan，求a的取值范围.【解析】这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题.对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个nb都可以得到一个有穷数列{an}的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,nnaaaaaaaaa34231211321,1.121aaaaaaaa420.3aa故当时(Ⅱ)解法一：11b,11,1111nnnnbbbb,当1ba时,01112ba,当2ba时,111112bba,03a,当3ba时,23211bba,111111223bbaa04a.一般地,当nba时,,01na可得一个含有1n项的有穷数列121,.,naaa.下面用数学归纳法证明.当1n时,1ba,显然01112ba,可得一个含有2项的有穷数列.,21aa假设当kn时,kba,得到一个含有1k项的有穷数列121,.,kaaa,其中01ka,则1kn时,1kba,kkbba1211,由假设可知,得到一个含有1k项的有穷数列232,,,kaaa,其中02ka.所以,当1kn时,可以得到一个含有2k项的有穷数列1a,232,,,kaaa,其中02ka由(1),(2)知,对一切Nn,命题都成立.解法二：11111,,1.1nnnnbbbbbb21132211112{}.11,11,1111,...11111.0.nnnnnnnnnnababababababababaab取数列中的任一个数不妨设故a取数列nb中的任一个数，都可以得到一个有穷数列na.（Ⅲ）)4(223nan即211231na,211na所以要使)4(223nan,当且仅当它的前一项1na满足211na.由于2,12,23,所以只须当2,23ka时,都有2,23na5n由12234aaa,得2122323aa,解得0a.3．在数列||na，||nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列（n*N）.（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测||na，||nb的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：1122111512nnababab…．【解析】第（Ⅰ）问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项（有限项），可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112nnnnnnbaaabb，，由此可得2233446912162025ababab，，，，，．猜测2(1)(1)nnannbn，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即2(1)(1)kkakkbk，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kkkkkkaabakkkkkbkb，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)nnannbn，对一切正整数都成立．（Ⅱ）11115612ab．n≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)nnabnnnn．故112211111111622334(1)nnabababnn……111111116223341nn…111111562216412n.综上，原不等式成立．三、名校试题1.数列{}na中，11a，2112nnnaaac(1c为常数，1,2,3,...n)，且321.8aa（1）求c的值；（2）①证明：1nnaa；②猜测数列{}na是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（3）比较11nkka与14039na的大小，并加以证明.【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23aa、后可得c的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}na的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2na.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222aaaccaaacc，由3218aa，得21111122228cc，解得2c，或1c（舍去）.（Ⅱ）①证明：因为2211122(2)022nnnnnaaaaa，当且仅当2na时，1nnaa.因为11a，所以10nnaa，即1nnaa(1,2,3,...n).②数列{}na有极限,且lim2nna.（Ⅲ）由21122nnnaaa，可得11()(2)(2)nnnnnaaaaa，从而111122nnnaaa.因为11a，所以1111111111111.22222nnkkkkknnaaaaaa所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nnnnnnnkknnnaaaaaaaaaa因为11a，由（Ⅱ）①得1na(*nN).（*）下面用数学归纳法证明：对于任意*nN，有2na成立.当1n时，由11a，显然结论成立.假设结论对(1)nkk时成立，即2.ka因为2211132(1)222nnnnaaaa，且函数213(1)22yx在1x时单调递增，所以2113(21)222ka.即当1nk时，结论也成立.于是，当*nN时，有2na成立.（**）根据（*）及（**）得12na.由11a及21122nnnaaa，经计算可得23313.28aa，所以，当1n时，2114039aa；当2n时，312114039aaa；当3n时，由11328na，得11111(53)(813)1400,3939(2)nnnnkknaaaaa所以1114039nnkkaa.2．数列na的首项1a=1，前n项和为nS满足12(1)nnkSa（常数0k，*Nn）．（1）求证：数列na是等比数列.（2）设数列na的公比为()fk，作数列nb，使13b，11()nnbfb（n2，3，4，…）求数列nb的通项公式；（3）设2nncb，若存在*Nm，且mn；使limn（112mmmmcccc…1nncc）12007，试求m的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m的最小值.【答案】解：（1）12(1)nnkSa①当2n时，12(1)nnkSa②①—②得，12()nnnakaa即121nnkaka（2）由①,1112ak，∴1211122nnakkka，又21112aak符合上式，∴na是以1为首项，112k为公比的等比数列．（2）由（1）知()fk112k，∴1111()12nnnbfbb（2n），∴112(2)2nnbb.又13b，即121b，1122nnbb，∴数列2nb是为1首项，12为公比的等比数列．∴112()2nnb，∴112()2nnb．（3）由（2）知112()2nnncb，则2111()2nnncc.∴112lim(mmmmncccc…1nncc）=111111lim...222mmn222n（）（）（）=1111141122lim132200714mmn22n+2（）（）（），∴3112669m2（），∴9669m22.∵5126691024，∴2310m，6.5m.又∵*Nm，∴m的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列na的公差d是2，前n项的和为nS，则22limnnnanS．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim0nan和2lim0nan，其中a为常数.【答案】设首项为1a，则112(1)21nnnaaa，1(1)22nnnnSa21(1)nna，222211111