数学习题教学中思维品质的培养

数学习题教学中思维品质的培养关键词：思维品质习题教学教育功能摘要：在教学活动中，我们不仅要让学生学懂和掌握应学的知识，而且更重要的是要培养学生的思维品质和教会学生研究问题的思想和方法，数学典型习题种类很多，数学习题具有多种教育功能，它能同化，深化，活化概念和定理的理解、掌握、和应用，能很好地培养学生分析问题，解决问题的能力，提高他们的科学素质，因此，我们在教学中，应努力选用典型的数学习题，尽力挖掘、发挥和利用其应有的教育功能，培养学生优秀的思维品质思维品质是人类大脑加工，处理客观信息，使之形成概念，上升为理性认识的高级活动。思维最优秀的品质有深刻性、全面性、严密性、灵活性、批判性、发散性和创新性。在教学活动中，我们不仅要让学生学懂和掌握应学的知识，而且更重要的是要培养学生的思维品质和教会学生研究问题的思想和方法，这也是新课程改革的核心所在。那么在数学教学中必不可少的环节——习题教学中，如何更好地培养学生优秀的思维品质，提高学生的科学素养和能力？就此问题我谈些多年来在教学研究、探讨和实践中的体会和做法。一、利用辨析题通过变式或示错培养学生思维的灵活性，使思维不受消极定势的束缚，实现思维的灵活转换。由于学生在日常生活中积累起来的概念具有极大的局限性，很容易导致学生对抽象度高的数学概念的错误理解，例如，在学习平面几何中“互相垂直”这一概念时，由于受与“竖直向下”这一日常经验的影响，常常不去分析、比较数学概念与日常概念的区别，以日常中的“竖直”来代替数学中的“互相垂直”的概念，认为“⊥”是垂直关系，而“”“”这两种位置关系不是垂直关系，所以在辨析钝角三角形的高时产生一定的障碍，我们可以通过让学生辨认下图（1）中所作出的钝角三角形的高是否正确来加强学生对三角形高的理解。再如可以通过图（2）中同旁内角的变式辩认加深对同旁内角概念的理解。克服一种只有在两直线平行时才产生同旁内角的思维定势，实现思维的灵活转换。二、利用“多解法习题”培养学生的求异创新能力，提高思维的发散性。“多解法习题”是指学生能从题目本身蕴含的变化关系中领悟到可以解决问题的不同的数学模型，从而找到问题的解决办法。这种类型的题目可以为开阔学生思路，训练思维，活化知识的运用起到很好的作用。例如在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,D为斜边AB上的一动点,过点D作DE⊥BC,DF⊥AC，求当点D运动到何处时，四边形DECF取得最大面积,最大面积为多少?首先由于DE⊥BC,DF⊥AC，∠C=90°所以四边形DECF是矩形。解法一、（利用“相似三角形的对应边成比例”建立变量间的关系，然后利用二次函数求面积的最值）∵DF⊥AC，∠C=90°又∠A为公共角，∴△ADF∽△ABC，∴ACAFBCDF设DF的长为x，则443FCx，∴FC=3412x∴S矩形DECF=34122xx∴当x=1.5即AD长为2.5时，矩形DECF的面积取得最大值，最大值为3。解法二（将直角三角形ABC放入平面直角坐标系，通过直线AB的函数解析式建立变量间的关系，然后利用二次函数，求矩形面积的最大值）如图，建立直角坐标系，显然A点坐标为（0，4），B点坐标为（3，0），所以直线AB的解析式为434xy∴可设D点坐标为（,x434x）∴S矩形DECF=DFDE＝x（434x）＝34122xx∴当x=1.5即AD长为2.5时，矩形DECF取得最大面积，最大面积为3。解法三（利用三角函数建立变量间的关系，从而求出矩形面积的最大值）在Rt△ABC中，43tanACBCA，在Rt△ADF中43tanAFDFA∴若DF的长为x时，可得AF的长为34x，∴FC的长为344x∴S矩形DECF=3442xx∴当x=1.5即AD长为2.5时，矩形DECF取得最大面积，最大面积为3以上三种解法分别从相似三角形，解析法，解三角形三个角度切入，用到了初中阶段三块重要知识，如果我们在习题教学中，选用这样一种一题多解的好题，带给我们的不仅仅是节约了抄写很多题目和讲解题意的时间，教给同学们不同的解题方法，更重要的是在有限的时间内启发、引导和激励学生广开思路，调整动头脑中已有的数学知识去解决同一个数学问题的求异创新能力，培养了学生思维的发散性。三、利用由于形的变化而导致的“漏解题”，培养学生分类讨论的思想，提高学生思维的严密性。由于部分学生在思考问题时思维方式比较单一，拘泥于所想到的第一种类型的图形进行解答，忽视了对其它可能满足题意的图形的讨论，从而导致漏解。例如，在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，AD为BC边上的高，且AD=12cm，求△ABC的面积。误解：如图，∵在Rt△ABD中，有AB=15cm，AD=12cm，BD=22ADAB=9cm，同理，在Rt△ACD中，可得CD=5cm，∴BC=BD+CD=9cm+5cm=14cm∴S△ABC=ADBC21=84cm2漏解：如图：当△ABC为钝角三角形时，同上可求得BD=9cm，CD=5cm，此时的BC=BD-CD=9cm-5cm=4cm∴S△ABC=ADBC21=24cm2在类似的由于形变而导致的漏解问题中，往往有同学对所给问题不善于周密思考，只是简单地利用题目所给条件，凭自己的经验做题目，导致了因思考不周密而漏解。在我们平时的教学过程中若适时选用“漏解题”进行练习，及时评析，指导学生分析由于形变而导致的质变，将有助于学生理解、鉴别能力的提高和进行周密思考的思维品质的培养。四、利用“开放性习题”培养学生探究数学问题的能力，发展学生的创新思维能力和应用数学能力。“开放性习题”是指答案不确定或不唯一的问题，它可分为条件开放，结论开放，策略开放三种类型。开放题的基本特征是强调答案的多样性，它的求解要求从多角度，多方面，多层次进行全面细致的分析和思考。例如这么一题：一次数学活动课，老师组织学生到野外测量一个池塘的宽度，（如图中A、B间的距离）。在讨论测量研究方案时，同学们发现有许多种方法，现请你根据所学知识，设计两种测量方案，要求画出测量示意图，并简要说明测量方法和计算依据。这一道题测量方案的依据很多，可以是“勾股定理”、“三角函数”、还可以利用“三角形中位线的性质”、“梯形中位线的性质”，甚至可以利用“全等三角形法”、“相似三角形法”、“平行四边形法”、“轴对称法”。这些方法要求学生有一定的知识迁徙能力，动手作图能力，运算能力，同时还要求学生能应用知识解决实际问题。同学们在解答这道题的过程中可以互相借鉴解决问题的策略，起到了启发和激励学生广开思路，自主探究的目的。又如：阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：①折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；②根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；③求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围。这一题的答案呈现出的多样性和多层性是我们们所预料不及的。用这样的开放性命题能真正引导学生从日常生活中发现和提出问题，引导学生自觉地用学过的数学知识去观察和分析实际问题，发展学生的创新能力和应用能力，从而落实“人人学有用的数学，人人都获得必须的数学”。对数学开放题来说，获得多种解答固然重要，但更重要的是获得解答的过程，由此可见，数学开放题教学营造了一个有利于培养学生创新精神和实践能力的课堂氛围，能较好地培养学生提问质疑思考探究的习惯，为学生的主动发展创造有利的条件。五、利用应用性问题培养学生阅读理解和收集整理信息的能力及表述能力、建构能力，从而培养学生思维的深刻性。下面一题就是一道典型的应用性问题：某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售。同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额a（元）的范围400200a500400a700500a900700a…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为360%80450元，获得的优惠额为12030%)801(450元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价。（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到31的优惠率？在这一应用题里信息很多，致使学生的思维呈现模糊而找不出需用的信息，例如优惠率的计算方法、优惠额的意义、奖券发放的方法等都须学生认真阅读题目，理解并正确使用信息，尤其是对于“标价在500元到800元之间的商品可能享受到的奖券金额有所不同，那么两种情形下所享受的优惠额不同，导致优惠率的表达式也不同”这一隐含在题目里的有效信息，须学生深入挖掘和仔细推敲，才能发现隐蔽条件，进行正确解答。教学实践表明，通过选用此类典型习题的教学，能使学生通过认真读题，审题，结合数学概念规律深入理解、辨析，将题中隐含条件破译挖掘，从而提高学生的辨别分析能力，进一步培养了学生思维的深刻性。总之，数学典型习题种类很多，数学习题具有多种教育功能，它能同化，深化，活化概念和定理的理解、掌握、和应用，能很好地培养学生分析问题，解决问题的能力，提高他们的科学素质，因此，我们在教学中，应努力选用典型的数学习题，尽力挖掘、发挥和利用其应有的教育功能，培养学生优秀的思维品质。