数学分析教案(华东师大版)第二十章曲线积分

《数学分析》教案-1-第二十章曲线积分教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：10学时§1第一型曲线积分一.第一型线积分的定义:1.几何体的质量:已知密度函数,分析线段的质量2.曲线的质量:3.第一型线积分的定义:定义及记法.线积分,.4.第一型线积分的性质:P198二.第一型线积分的计算:1.第一型曲线积分的计算:回顾“光滑曲线”概念.Th20.1设有光滑曲线,.是定义在上的连续函数.则.(证)P199若曲线方程为:,则.《数学分析》教案-2-的方程为时有类似的公式.例1设是半圆周,..P200例1例2设是曲线上从点到点的一段.计算第一型曲线积分.P200例2空间曲线上的第一型曲线积分:设空间曲线,.函数连续可导,则对上的连续函数,有.例3计算积分,其中是球面被平面截得的圆周.P201例3解由对称性知,,=.(注意是大圆)§2第二型曲线积分一.第二型曲线积分的定义:1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得《数学分析》教案-3-,即.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量:解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场.求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E.设曲线AB上点处的切向量为,(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定:法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧,在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线向按右手法则确定,即以右手拇指所指为法线方向,则食指所指为切线方向.).在弧段上的流量.,因此,.由,得.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.3.第二型曲线积分的定义:闭路积分的记法.按这一定义,有力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为《数学分析》教案-4-.流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分.4.第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用Riemma的思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R)积分的共性,如线性、关于函数或积分曲线的可加性.但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性,这是由于一方面向量值函数不能比较大小,另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.二.第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线,L:.《数学分析》教案-5-A,B;函数和在L上连续,则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有.(证略)例1计算积分,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为ⅰ直线段ABⅱ抛物线;ⅲA(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1),折线闭合路径.P205例1例2计算积分,这里L:ⅰ沿抛物线从点O(0,0)到点B(1,2);ⅱ沿直线从点O(0,0)到点B(1,2);ⅲ沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).P205例1例3计算第二型曲线积分I=,其中L是螺旋线,从到的一段.P207例3例4求在力场作用下,ⅰ质点由点A沿螺旋线到点B所作的功,其中L:,.《数学分析》教案-6-ⅱ质点由点A沿直线L到点B所作的功P207例4