数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用

《数学分析》教案-1-第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§1平面图形的面积（2时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：1.简单图形：型和型平面图形.2.简单图形的面积:给出型和型平面图形的面积公式.《数学分析》教案-2-对由曲线和围成的所谓“两线型”图形,介绍面积计算步骤.注意利用图形的几何特征简化计算.例1求由曲线围成的平面图形的面积.例2求由抛物线与直线所围平面图形的面积.（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出.又设,就有↗↗,于是存在反函数.由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征.例3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.例4极坐标下平面图形的面积:《数学分析》教案-3-推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式.(简介微元法，并用微元法推导公式.半径为,顶角为的扇形面积为.)例5求由双纽线所围平面图形的面积.解或.(可见图形夹在过极点,倾角为的两条直线之间).以代方程不变,图形关于轴对称;以代,方程不变,图形关于轴对称.参阅P242图10-6因此.三、小结：§2由平行截面面积求体积（2时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为.推导出该立体之体积.《数学分析》教案-4-祖暅原理:夫幂势即同,则积不容异.(祖暅系祖冲之之子齐梁时人,大约在五世纪下半叶到六世纪初)例1求由两个圆柱面和所围立体体积.P244例1()例2计算由椭球面所围立体(椭球)的体积.[1]P244例2()（二）旋转体的体积:定义旋转体并推导出体积公式..例3推导高为,底面半径为的正圆锥体体积公式.例4求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.例5求由圆绕轴一周所得旋转体体积.(1000)例6轴正半轴.绕轴旋转.求所得旋转体体积.§3曲线的弧长(1时)教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长，（一）弧长的定义:定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲《数学分析》教案-5-即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线.（二）弧长计算公式:光滑曲线的弧长.设，，又，和在区间上连续可导且.则上以和为端点的弧段的弧长为.为证明这一公式,先证以下不等式:对,有,Ch1§1Ex第5题(P4).其几何意义是:在以点和为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边.事实上，.为证求弧长公式,在折线总长表达式中,先用Lagrange中值定理,然后对式插项进行估计.如果曲线方程为极坐标形式连续可导,则可写出其参数方程.于是.§4旋转曲面的面积(1时)《数学分析》教案-6-教学要求：旋转曲面的面积。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积用微元法推出旋转曲面的面积公式:曲线方程为时，；曲线方程为时，.例1—2P254—255例1—2.§5定积分的物理应用举例(2时)教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等。教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等例1—2P255—257E例1—3.例3P257—259例4-5.