中小学禁毒宣传资料

第十一章重积分§1二重积分的概念1.把重积分Dxydxdy作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=1,01,0,并用直线网x=ni,y=nj(i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f在矩形式域上D可积,则f在D上有界.3.证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续,则f在D上可积.4.设D为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2若f、g都在D上可积,则f+g在D上也可积,且Dgf=DDgf.性质4若f、g在D上可积,且gf,则DDgf,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数,则存在D,,使得D,ffD.5.设D0、D1和D2均为矩形区域,且210DDD,11DintDint,试证二重积分性质3.性质3(区域可加性)若210DDD且11DintDint,则f在D0上可积的充要条件是f在D1、D2上都可积,且0Df=21DDff,6.设f在可求面积的区域D上连续,证明:(1)若在D上0y,xf,0y,xf则0fD;(2)若在D内任一子区域DD上都有D0f,则在D上0y,xf。.7.证明:若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号,则存在一点D,,使得Ddxdyy,xgy,xf=,fDdxdyy,xg.8.应用中值定理估计积分10yx22ycosxcos100dxdy的值§2二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)Ddxdyx2y,其中D=2,15,3;(2)D2dxdyxy,其中(ⅰ)D=3,02,0,(ⅱ)D=3,02,0;(3)Ddxdyyxcos,其中D=,02,0;(4)Ddxdyxy1x,其中D=1,01,0.2.设f(x,y)=yfxf21为定义在D=11b,a22b,a上的函数,若1f在11b,a上可积,2f在22b,a上可积,则f在D上可积,且Df=1122baba21ff.3.设f在区域D上连续,试将二重积分Ddxdyy,xf化为不同顺序的累次积分:(1)D由不等式xy,ay,bxba0所确的区域:(2)D由不等式222ayx与ayx(a0)所确定的区域;(3)D=1,yxyx.4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1)20x2xdyy,xfdx;(2)11x1x122dyy,xfdx;(3)10x02dyy,xfdy+31x3210dyy,xfdx.5.计算下列二重积分:(1)D2dxdyxy,其中D由抛物线y=2px与直线x=2p(p0)所围的区域;(2)D22dxdyyx,其中D=1x0y,x,yxx2;(3)Dxa2dxdy(a0),其中D为图(20—7)中的阴影部分；(4)Ddxdyx,其中D=xyxy,x22;(5)Ddxdyxy,其中为圆域222ayx.6.写出积分ddxdyy,xf在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D由不等式1yx22,xy,0y所确定的区域;(2)D由不等式2222byxa所确定的区域;(3)D=0x,yyxy,x22.7.用极坐标计算二重积分:(1)D22dxdyyxsin,其中D=222yxy,x24;(2)Ddxdyyx,其中D=yxyxy,x22;(3)D22dxdyyxf,其中D为圆域222Ryx.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1)20x2x1dyy,xfdx,其中u=x+y,v=x-y;(2)dxdyy,xfD,其中D=ayxy,x,0x,0y,若x=vcosU4,vsinUy4.(3)dxdyy,xf,其中D=ayxy,x,0x,0y,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V的体积:(1)v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2)v由z=22yx和z=x+y围的立体;(3)v由曲面9y4xZ222和2Z=9y4x22所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)Ddxdyyxsinyx,D=yx0y.xyx0;(2)Dyxydxdye,D=1yxy,x,0x,0y.12.设f:[a,b]→R为连续函数,应用二重积分性质证明:2badxxfba2dxxfab，其中等号仅在f为常量函数时成立。13.设f为连续函数,且f(x,y)=f(y,x)证明:100,xdyyxfdx=xdyyxfdx0101,1.14.求由下列曲线所围成的平面图形面积:(1)x+y=a;x+y=b;y=αx;y=βx,(ab,αβ)(2)22222byax=22yx15.设f(x,y)=sfn(x-y),试讨论函数F(y)=10dxy,xf在,上的连续性并作出F(y)的图像.ba,x,0ba,x,xf2§3三重积分1.计算下列积分(1)v2dxdydzzxy,其中v=1,03,35,2;(2)vzdxdydzcosycosx,其中v=2,01,02,0;(3)v3zyx1dxdydz,其中V是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域;(4)vdxdydzzxcosy,其中V是由y=x,y=0,z=0及x+z=2所围成的区域.2.试改变下列累次积分的顺序:(1)1010yx0dzz,y,xfdydx;(2)1010yx022dzz,y,xfdydx.10x1x1xz222dyz,y,xfdzdx3.计算三重积分:(1)vdxdydzZ2,其中V由2222rzyx和2xrzzy222所确定;(2)10102222222xyxyxdzzdydx.4.利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积:(1)Z=22yx,z=222yx,y=x,y=x2;(2)2byax+2cz=1,0x,0y,0z,a0,b0,c0)5.设f（x，y，z）在长方体V=f,ed,cb,a上可积,若对任何Dz,y=f,ed,c定积分F(y,z)=badxz,y,xf存在,证明F(y,z)在D上可积,且Ddydzz,yF=vdxdydzz,y,xf.6.设V=1czbyaxz,y,x222222计算下列积分:(1)v222222dxdydzczbyax1;(2)vczbyaxdxdydze222222..§4重积分的应用1.求曲面az=xy包含在圆柱222ayx内那部分的面积.2.求锥面Z=22yx被柱面Z2=2x所截部分的曲面面积.3.求下列均匀密度的平面薄板重心:(1)半椭圆12222byax,0y;(2)高为h,底分别为a和b的等腰梯形.4.求下列均匀密度物体重心:(1)221YXz,0z;(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.5.求下列均匀密度的平面薄板转动惯量:(1)半径为R的圆关于其切线的转动惯量;(2)边长为a和b,且夹角为的平行四边形关于底边b的转动惯量.6.设球体x2zyx222上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这个球体的质量.7.计算下列引力:(1)均匀薄片222Ryxz=0对于轴上一点(0,0,c)(c0)处的单位质量的引力;(2)均匀柱体222ayx,hz0对于P(0,0,c)(ch)处单位质量的引力.8.求曲面sinaz20cosacosby20sincosabx的面积,其中a,b常数,且ba0.9.求螺旋面bz0rsinyar0cosrx的面积10.求边长为I的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的距离成正比,且在正方形中点处密度为0.11.求边长为a密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量.总练习题1.设yxf,=为有理数为无理数x2y,x,1Dy,x=1,01,0(1)证明f在D上不可积;(2)说明1010dyy,xfdx存在,并求它的值;(3)说明f在D上先x后y的累次积分不存在.2.设平面上区域D在x轴和y轴上的投影长度分别为Lx,Ly,D的面积为D,(α,β)为D内任一点.证明:(1)DLLdxdyyxyxD(2)2y2xDLL41dxdyyx.3.试作适当变换,把下列重积分化为单重积分:(1)1yx2222dxdyyxf;(2)D22dxdyyxf,其中D=xyy,x,1x;(3)1yxdxdyyxf;(4)Ddxdyxyf,其中D=x4yxy,x,2xy1.4.计算下列积分:(1)2y,x0dxdyyx;(2)4yx2222dxdy2yxsgn.5.求下列函数在所指定区域D内的平均值:(1)f(x,y)=ycosxsin22,D=x0y,x,y0;(2)z,y,xf=222zyx,D=222zyxz,y,xzyx.6.设=0cbacbacba333222111求平面1111hzcybxa2222hzcybxa3333hzcybxa所界平行六面体体积..7.研究函数yF=dxyxxyf1022的连续性,其中f为[0,1]上正连续函数.10.设f:RR3是连续可微函数,证明函数H(x)=3322babadyz,y,xfdz是可微函数,且xH=3322babadyxz,y,xfdz11.设F(x,y)=xyyxdzzfyzx,其中f为可微函数,求y,xFxy.12.设f为可微函数,求下列函数F的导数:(1)F(t)=2222tzyx222dxdydzzyxf;(2)F(t)=vdxdydzxyzf,其中v=x0z,y,x,tz,y.