数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

第四章函数的连续性一、填空题1．设011sin00sin1)(xxxxkxxxxf，若函数)(xf在定义域内连续，则k；2．函数0sin01)(xxxxxf的间断点是；3．函数xxf)(的连续区间是；4．函数321)(2xxxf的连续区间是；5．函数)3(9)(2xxxxf的间断点是；6．函数)4)(1(2)(xxxxf的间断点是；7．函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是；8．设00)(xkxxeexfxx在0x点连续，则k；9．函数3x131x01011)(xxxxxf的间断点是；10．函数0ba0)(0)(2xxxbaxbaxxf.则)(xf处处连续的充要条件是b；11．函数00)(21xaxexfx，则)(lim0xfx，若)(xf无间断点，则a；12．如果1111)(2xaxxxxf，当a时，函数)(xf连续二、选择填空1．设)(xf和)(x在,内有定义，)(xf为连续函数，且0)(xf，)(x有间断点，则()A.)(xf必有间断点。B.2)(x必有间断点C.)(xf必有间断点D.)()(xfx必有间断点2．设函数bxeaxxf)(，在,内连续，且)(limxfx0，则常数ba,满足()A.0,0baB.0,0baC.0,0baD.0,0ba3．设xxeexf1111)(，当,1)(;0xfx当0x，则A有可去间断点。B。有跳跃间断点。C有无穷间断点D连续4．函数nnxxxf211lim)(A不存在间断点。B存在间断点1xC存在间断点0xD存在间断点1x5．设0101sin)(;0001)(xxxxxgxxxf，则在点0x处有间断点的函数是A)}(),(max{xgxfB)}(),(min{xgxfC)()(xgxfD)()(xgxf6．下述命题正确的是A设)(xf与)(xg均在0x处不连续，则)(xf)(xg在0x处必不连续。B设)(xg在0x处连续，0)(0xf，则0limxx)(xf)(xg=0。C设在0x的去心左邻域内)(xf)(xg，且0limxx)(xf=a,0limxx)(xg=b,则必有abD设0limxx)(xf=a,0limxx)(xg=b,ab，则必存在0x的去心左邻域，使)(xf)(xg。三、计算题1．指出函数的间断点及其类型：（1）x1xxf；（2）xSinxxf；（3）xcosxf；（4）xSgnxf；（5）xcosSgnxf；（6）为无理数为有理数xx,-x,xxf（7）x1,1-x1sin1-x1,x7-,x,7x,7x1xf2．延拓下列函数，使在上连续：（1）2x8xxf3；（2）2xCosx1xf；（3）x1xCosxf3．举出定义在[0，1]上符合下述要求的函数：（1）在31,21和41三点不连续的函数；（2）只在31,21和41三点连续的函数；（3）只在2,1nn1上间断的函数；（4）仅在x=0右连续，其它点均不连续的函数。4．求极限：（1）tgxxlim4x；（2）1x1xx21xlim21x。5．求下列极限：（1）x1lnx15Cosxelim2x0x；（2）)xxxxlim(x；（3）x1x1x1x1x1x1lim0x；（4）1xxxxlimx；（5）n2xn1n11lim；（6）.Sinx1limctgx0x四、证明题1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）x1xf；（2）xxf2．设f为连续函数，常数0C，证明函数.Cxf,C,Cxf,xf,Cxf,CxF若连续若若3．证明：设f为区间I上的单调函数，且Ix0为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点。4．设函数f只有可去间断点，定义yflimxgxy，证明g为连续函数。5．设f为),(上单调函数，定义g（x）=f（x+0），证明函数g在),(上每点都右连续。6．该0g0f，当0x时，xgxf，试证f与g这两个函数中至我有一个在x=0处连续。7．设f，g在点x0连续，证明：（1）若00xgxf，则存在x0的某个邻域,xU0使,xUx,xgxf0：（2）若对0xx，有00xgxf，则00xgxf。8．研究复合函数gf与fg的连续性。设（1）2x1xg,Sgnxxf；（2）xx1xg,Sgnxxf2。9．若f在,a上连续，且xflimx存在，证明：f在,a上有界，试问f在,a上必有最大值与最小值吗？10．若对任给0，f在b,a上连续，是否可推出f在（a，b）连续。11．证明：若f在[a，b]上连续，且不存在任何x使得f（x）=0，则f在[a，b]上恒正或恒负。12．证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。13．证明：（1）函数xxf在,0上一致连续。（2）2xxf在[a，b]上一致连续，但在,上不一致连续。14．若函数f（x）在区间I上满足李普希茨条件，即存在常数L，使得对I上任意的两点x与x，都有xxLxfxf证明：f在I上一致连续。15．试用一致连续的定义证明，若函数f在[a，c]和[c，b]上都一致连续，则f在[a，b]上也一致连续16．该函数f在a2x0是连续且f（0）=f（2a）。证明：在区间[0，a]上存在某个x，使f（x）=f（x+a）。17．该f为[a，b]上的递增函数，其值域为[f（a），f（b）]，证明f在[a，b]上连续。18．证明：若f在[a，b]上连续，且bxxxan21则在n1x,x上必存在ξ，使得nxfxfxffn2119．设f（x）=Sinx，0.x,x0,x,xxg证明复合函数f（g（x））在x=0不连续。20．证明：若f（x）是以2π为周期的连续函数，则存在ξ，使ff。21．证明：xCosxf在,0上一致连续。22．设yylim,0xxlimnnnx，证明：yynnxxlimn。23．证明（1）若0a，x为任一实数，则0ax。（2）设x1，x2是任意两个实数，且21xx，若1a0，则21xxaa。24．设1a，x为任意实数，证明.rafinarxrx为有理数五、考研复习题1．设函数f在开区间（a，b）内连续，且f（a+0）与f（b-0）为有限值。证明f在（a，b）上有界。2．证明：方程0xaxaxa332211（其中0a,a,a321，且321）在21,与32,内各有一个根。3．若f在[a，b]上连续，bdca，且dfcfk，证明：（1）存在一个b,a，使得f2k；（2）存在一个b,a，使得fnmdnfcmf，其中m，n为正整数。4．设函数f在[a，b]上连续，证明下述结论：（1）若对一切[a，b]上的有理数r，有f（x）=0，则在[a，b]上有0xf。（2）若对[a，b]上任意两个有理数2121rrr,r，有21rfrf，则f为[a，b]上的严格递增函数。5．证明：若f在[a，b]上连续，则函数fminxmxa和fminxMxa在[a，b]上连续。6．设f在[a，b]连续，且b,ab,af，证明存在b,ax，使得f（x）=x。7．证明：若函数f在（a，b）连续，f（a+0）与f（b-0）都为有限值，且存在一点b,a，使得0bf,0afmaxf，则f在（a，b）内能取到最大值。8．证明：若函数f在（a，b）连续，且0bf0af，则f在（a，b）内能取到最小值。9．设函数f在[a，b]上连续b,ax,,x,xn21，另有一组正数0,,,n21，满足1n21，证明：存在一点b,a，使得nn2211xfxfxff。10．已知函数f在,0上连续，且,0x,xxf0，设.,2,1n,afa,0an1n1证明：（1）na为收敛数列；（2）设talimnx，则ttf；（3）若条件改为,0x,xxf0，则t=0。11．证明：若函数f在[0，1]上连续，1f0f，则对任何自然数n，存在1,0，使得fn1f。12．设函数f在x=0连续，且对任何,y,x有yfxfyxf，证明：（1）f在,上连续；（2）x1fxf。13．设函数f定义在,上，且在x=0，1两点连续，证明：若对任何,x有xfxf2，则f为常量函数。14．证明：若)(xf在],[ba上连续，则函数|)(|min)(fxmxa在],[ba上连续。