数学史和方法论自学考试提纲

第一章数学的萌芽1古埃及的数学公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书；一卷藏在伦敦，叫做兰德纸草书，一卷藏在莫斯科。2埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850～前1650年之间，相当于中国的夏代。3古埃及的计数制埃及很早就用十进记数法，古埃及人的计数系统是叠加制，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。4埃及几何的突出成就：古埃及人在建筑规模宏大的教堂、金字塔等都需要测量，尼罗河水泛滥后冲刷了许多边界标记，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。因此古埃及人的几何学知识较为丰富，在两种纸草书中，有26个十几何问题,许多与金字塔有关，如：在莫斯科纸草书中有：一个截顶金,字塔的垂直高度为6，底边为4，顶边为2求体积。他们的算法是：4的平方是16，4的二倍,8,2的平方是4，把16、8、4相加为28.取6的三分之一为2，取28的2倍为56，则是体积数。由此可以看出，古埃及人是通过具体问题说明了高位h底边长为ab的正四棱台得体积公式是V=1/3(a2+ab+b2)h，著名数学家贝尔形象地将这一古埃及数学杰作成为“最伟大的埃及金字塔”5古巴比伦的计数制：古巴比伦的计数系统是60进制，也使用分数，总用60作为分母，但他们的分数系统是不成熟的。古巴比伦的算术运算也是借助各种各样的表来进行的。6试比较古埃及和巴比伦的解方程的方法，及对后来发展的启迪意义。1古埃及解决方程问题的方法是试位法：如对于方程x+x/7=24,先给x选一个定值，如7+7/7=8,而不是24，因为8需乘3才是24，故x的值是21，“但试位法”对于一元一次方程，可以得到精确的解，而对于二次以上的方程一般情况下只能给出近似解。2古巴比伦的如在英国大不列颠博物馆13901好泥板记载问题：我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二的35/60,求该正方形的边长。给出的解法是：1的三分之二是40/60.其一半是20/60，将它自乘得6/60+40/602并把它加到35/60上得41/60+40/602其平方根是50/60.再从中减去40/60的一半的30/60于是1/2是所求正方形的边长，这一解法相当于将方程x2+px=q的系数代入公式求解，只不过计算时用的60进制。他们可能知道某些类型的一元二次方程的求根公式，但没有负数的概念。如何得到这些解法的，没有说明。在一块泥板上给出了数表。专家研究：这个数表解决形如x3+x2=b的三次方程的。7普林顿322号泥板书的数学意义。该泥板一损害了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家认为：这是一张勾股数（即x2+y2=z2的整数解）表，并且及可能用到了下列参数式：x=2uv,y=u2-v2,z=u2+v2.而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。第二章希腊的数学1、希腊数学学派与演绎数学的产生；（1）爱奥尼亚学派和演绎证明：以演绎证明为基本特征的数学，最早诞生于古希腊爱奥尼亚地区的海滨城市米利都，享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派—爱奥尼亚学派。其中定理“内接于半圆的角必为直角”被称为“泰勒斯定理”重要的是他对定理提供了某种逻辑推理。如：两条直线相交，对顶角相等，证明：角a加角c等于平角，角b加角c也等于平角，因为平角是相等，所以叫a等于角c(等量减等量。余量相等)说明，从泰勒斯开始已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础。获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉又被西方称为“测量学的鼻祖”(2)毕达哥拉斯学派与“万物皆数”他组织一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密社会，就是著名的毕达哥拉斯学派。致力于哲学和数学的研究。尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派。但这个学派信条“万物皆数”认为：数是由单子或1产生的因此将1命名为“原因数”，每一个数都被赋予了特定的属性，而一切数中最圣神的是10，认为它是完美和谐的标志。这种万物皆数的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，数学化思想的最初表述形式。这思想促进了对自然数分类研究，定义了许多概念，如“完美数”三角形数、正方形数。还认为“美是和谐与比例”。由于不可公度量大发现。信条收到了冲击，在数学史上成为“一次数学危机”使他从对数的研究转向对形的探讨，最终导致了几何学的迅速发展。但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的。(3)芝诺悖论与巧辩学派三个悖论及意义：芝诺关于运动的三个悖论是：二分说；阿基里斯追龟说；飞箭静止说。芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是：人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。巧辩学派的三大几何难题：只允许用尺规作一正方形使其面积与给定的圆的面积相等；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者的体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。直到1831年数学家万采尔首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图解决。德国数学家林德曼于1882年，证明了π的超越性，否定了用尺规画圆为方的可能性。巧辩学派及其他希腊学者，把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的怎样认识：即他们强调在研究一个概念必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理，在他们看来，直线和圆客观存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。（4）柏拉图学派：宇宙设计说他们强调用数学解释宇宙，特别重视对立体几何的研究。提出了数学的演绎证明因遵循的逻辑规则。他们研究了棱柱、棱锥、圆锥，而且知道正多面体只有五种，该学派把德漠克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说，他们设想物质世界的本质不是土气水火，而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半，因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限分下去。因此神就用它们构成4种正多面体的界面：火微粒是正四面体，土微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正十二面体。最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成宇宙。其中最杰出的数学家是欧多克索斯，最大贡献是运用公里法建立了比例理论。它的学生梅奈赫莫斯是圆锥曲线理论的创始人。；亚里斯多德对数学最大贡献是建立了形式逻辑学。2希腊数学的黄金时代亚历三大时期的三大数学巨人：阿基米德、欧几里得、阿波罗里斯。（1）欧几里得的《几何原本》：五条公设：⑴从任一点到任一点作直线（是可能的）。⑵将有限直线不断沿直线延长（是可能的）。⑶以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）。⑷所有直角是相等的⑸若一直线与两条直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。五个公理：⑴与同一东西相等的一些东西彼此相等。⑵等量加等量，其和相等。⑶等量减等量，其差相等。⑷彼此重合的东西是相等的。⑸整体大于部分。（2）阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》，《论球和圆柱》、《论劈锥曲面体和球体》、《圆之度量》、《沙粒计》，这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑。解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摈弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情。”阿基米德在平面几何方面的主要贡献：①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得3(10/71)＜π＜3(1/7)。②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积。③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的4/3。④定义了螺线ρ=aΦ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2πa的圆面积的1/3。⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。阿基米德在立体几何方面的主要贡献：①球表面积等于大圆面积的4倍。②圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积也是球表面积的3/2。③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积。④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积。⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积。⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式。此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等阿基米德的数学成就：阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题（3）阿波罗尼斯与《圆锥曲线》首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、切线等定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论，需要指出的是，他的方程是几何语言叙述的。3希腊数学的衰落（1）其中代数的重大进展产生了代数符号，第一次系统提出了代数符号的是丢番图。丢番图的数学成就对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝TheGreekanthology﹞【这是公元500年前後的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞。亚历山大的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对後来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别於其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。希腊数学自毕达哥拉斯学派後，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜於解决问题，