数学在计算机技术中的应用

旅游与管理工程学院信管1班游宇帆20104201022一·常用的数学软件的介绍目前,数学的科技应用软件主要有MAPLE、MATHEMATICA、MATHCAD、MATLAB等.2.1MAPLEMAPLE软件是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一,在数学和科学领域享有盛誉,有“数学家的软件”之称.它可以解决许多数学问题而不用像C语言那样编写大量的程序,操作简单、易学易用.它以友善的使用环境、强大的符号处理、精确的数值计算、灵活的图形显示、高效的编程功能为越来越多的教师、学生和科研人员所喜爱,并成为他们进行数学处理的首选工具.MAPLE的主要功能有:计算(包括符号计算、数值处理、二维与三维作图)和编辑.另外,MAPLE软件具有广泛的数学功能:具有4000多个数学函数,提供数值和符号的解决方案；覆盖了几乎所有的数学领域,包括微积分、线性代数、统计、图论、物理、概论等；具有高效的数值求解器,支持无限精度的计算；拥有较强的符号算法可用于方程推导、简化、提取、分析等任务.所以,运用MAPLE软件可轻松的解决众多数学分支中的常见的计算问题[4].2.2MATHEMATICAMATHEMATICA是世界上通用计算系统中最强大的系统.它是1988年美国WolframResearch公司开发的一个著名的专用于数学分析型的软件,以符号计算为特长,也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能.最初MATHEMATICA软件只对于物理学和数学领域具有显见影响.但是,随着科技的进步,MATHEMATICA在生物学、社会学、工程学、化学、航空航天等许多其他的重要领域得到了广泛的应用.MATHEMATICA的基本系统主要是用C语言开发的,其符号功能是最强的,运行构架是最优的,符号运算效力与解析能力是最好的,它是专门为中学生和大学生的学习而研发的[5].2.3MATHCADMATHCAD是美国Mathsoft公司推出的一个著名的交互式应用数学软件,它集数理计算、图形和文字处理等功能于一体.MATHCAD也是一种工程计算软件,允许工程师利用详尽的应用数学函数及动态、可感知的单位计算来同时设计和记录工程计算的过程.MATHCAD的用途:计算表达式、代数运算、符号计算、函数的计算、公式推导、函数作图(2D和3D图表)、动画演示、常用积分变换、解方程和方程组、数理统计与数据处理、MATHCAD编程等.2.4MATLABMATLAB是矩阵实验室(MatrixLaboratory)之意,主要用于方便矩阵的存取,其基本元素是无需定义维数的矩阵,是数值计算型的数学类科技应用软件,被誉为第四代计算机语言.MATLAB可用于解决实际的工程和数学问题,其典型应用包括数值计算、算法设计、各种学科(如自动控制、数字信号处理、统计信号处理等领域)的专门问题求解.MATLAB软件的矩阵运算功能也十分强大:对这四种数学软件进行比较:MATHCAD在高等数学方面所具有很高的能力,如果仅仅是要求满足一般的计算或者是普通用户的日常使用，应该首选MATHCAD，它能够满足一般客户的要求,并且输入界面也非常友好.MATHEMATICA是在物理学科研方面应该为最好的工具,也是最好的符号分析方面的数学软件.如果要求精度计算、符号计算或者编程的话,最好同时使用MAPLE和MATHEMATICA这两款软件,因为它们在符号处理方面表现出色.MATLAB是最好的数值求解的工具,也是最好最全的数值类的数学软件,在进行矩阵方面或图形方面的处理等方面,MATLAB的表现也是令人满意的,因为矩阵计算和图形处理也是它的强项[11].二·计算机技术在高等数学中的应用多项式运算2.1多项式求值函数polyval利用函数polyval可以球得多项式在某一点的值。其基本调用格式为：y=polval(p,x)功能：返回多项式p在x处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。2.2多项式拟合函数polyfit在MATLAB系统中提供一条专用多项式拟合函数polyfit,用户只要输入相应的数据和参数就可构造出一条最光滑的曲线。格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的数据向量x和y所确定的数据点，采用最小二乘法构造出n阶多项式去逼近已知的离散数据，实现多项式曲线的拟合。其中p是求出的多项式系数，n阶多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。2.3非等距插值函数griddata格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能:已知的元素值由3个向量来描述：x、y和z。函数返回值为一矩阵zi,其元素的值由x、y和z确定的二元函数插值得到。其中method可以为：linear,即线性插值；cubic,即三次插值；nearest，即最近邻插值；v4，即MATLAB4的griddata插值方法。2.4单调节点插值函数interp2格式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)功能：已知的元素值由3个向量来描述：x、y和z。其中，x、y是已知数组并且大小相同，z是相对应的已知点上的函数值；xi、yi是用于插值的矢量；zi是根据相应的插值法方法并且与（xi,yi）对应的插值结果。Method用于指定所使用的插值方法：linear,即双线性插值（默认值）；cubic,即双三次插值；nearest,即最近邻插值；spline,即三次样条插值。三·计算机技术在线性代数中的应用MATLAB软件提供了矩阵的各种运算和操作,如简单的加法、减法、乘法、乘方、除法、转置、求矩阵的逆,还有比较特殊的翻转运算、点运算以及单个矩阵的元素赋值与运算.另外,MATLAB软件还提供了有关矩阵的专项技术,如随机元素矩阵、伴随矩阵、对角矩阵、单位矩阵、零矩阵等有关求逆、行列式、迹、秩、范数、特征值和特征向量的运算.对于过于繁琐的矩阵问题可通过MATLAB软件的一个或多个函数得以解决.MATLAB在解决线性代数问题上的基本原理即是通过编写程序,运用MATLAB语言中特有的函数来解决.1.矩阵的逆在MATLAB中求逆用函数()inv来计算,格式为)(XinvY.当X为非满秩矩阵(或奇异矩阵)时,系统会产生警告信息.2.矩阵行列式的值在MATLAB中,求矩阵的行列式的值,用函数det(),格式为)det(Xd,运用此函数是矩阵X必须为方阵.若不为方阵也会出现错误信息.即:???Errorusing==detMatrixmustbesquare.3.矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数里矩阵问题的重点也是难点,在用笔计算时需要引入“”,求0||AE的值即特征值,然后根据xAx,找出特征值对应的特征向量x.当矩阵A为高阶方阵时,计算0||AE就显得很困难了.而在MATLAB中求矩阵的特征值和特征向量可运用函数()eig便可求出矩阵的特征值和特征向量.格式为:)(Aeigd//d为矩阵A的特征值)(],[AeigDV//V为矩阵A的特征向量,D为矩阵A的特征值向量,即有DVVA4.矩阵的正交矩阵只需用函数()orth就可一步求得.若用手算,需要先求出矩阵的特征值与特征向量,然后将T（由特征向量组成的矩阵）运用施密特正交化将其正交化,单位化,计算过程非常复杂.四·计算机技术在概率论与数理统计中的应用我们来看一个经典的生日概率问题。【数学情境】每个人都有自己的生日（指一年365天中某一天），随机相遇的两人的生日要在365天中的同一天，即使有也是很凑巧，但如果相聚的人数增多，可能性会增大；某次随机相遇无论男女、老幼，若人数达到了50以上，形成一个团体（如集会、上课、旅游等）。【提出问题】1．随意指定一个人，你猜某天正好是他的生日，猜对的可能性有多大？2，随意指定二个人，你猜他俩生日是同一天，猜对的可能性有多大？3．某一团体有一群人，我绝对可以肯定至少有2人生日相同，这群人人数至少要多少？4．如果某个随机而遇的团体有50人以上，我敢打贿，这个团体几乎可以肯定有生日相同的两个人，你相信吗？【问题解决】问题1.解：一年有365天，他某天生日概率p＝1365≈0.0027，故猜对的可能性微乎其微。问题2.解：两个人生日，总共可能性有365×365种搭配，其中有365种生日相同，故随意指定二个人，生日相同的概率p=365365365=1365≈0.0027，故猜对的可能性仍旧微乎其微。问题3.解：某一团体中，绝对肯定至少有2人生日相同，即为必然事件，p＝1。由抽屉原理可知，这群人至少要有366人。问题4.解：要解决这个概率问题，我们首先来计算一下，50个人生日的搭配一共有多少种可能情况。第一个人生日，可以是一年中任何一天，一共有365种可能情况，而第二、第三及其它所有人生日也都有365种，这样50个人共有50365种可能搭配。如果50人的生日无一相同，那么生日搭配可能情况就少得多了。第一个人有365种可能，第二人因不能与第一个生日相同，只有364种可能，依次类推，如50人生日无一相同，其生日搭配情况只有365×364×363×……×317×316种只占50365种情况中的3％，即p＝50365364317316365＝3％。即反面推至生日2人相同概率有97％。同理可推算如果某群人有40人，至少两人生日相同概率有89％，如果有45人至少两人生日相同的概率达94％。故这样赌局，几乎可以稳操胜券。