数学建模中的矩阵

矩阵在数学建模中的应用举例摘要：矩阵作为一种认识复杂事物的简捷的数学工具,已经被广泛应用在各个学科领域中,在数学建模中也具有重要的作用,从数学规划模型和线性代数模型以及微分方城模型中分析矩阵应用，通过分析来提高数学建模的技巧，以使数学建模能够更好地服务于各个领域。关键词:数学建模；矩阵；模型1.数学优化模型优化问题可以说是在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。有些较简单的优化模型，可归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。实际生活中有很多优化问题通常有多个决策变量，用n维向量x=(x1,x2,…,xn)T表示，目标函数f(x)是多元函数，可行域比较复杂，常用一组不等式()0igx（i=1,2,…,m）来界定,称为约束条件。一般地，这类模型可以表述成如下形式min()ZFx，s.t.()0igx,i=1,2,…,m数学规划就是解决这类问题的有效办法。而线性规划是数学规划中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学、等众多学科和领域都有十分广泛的应用，典型问题有生产计划、任务分配、投料和产品的混合、运输、库存等问题。其基本形式为：minTZCX，s.t.AXB其中X=12nx x x，A=11121m21222mm1m2mmaaaaaaaaa，B=12nbbb,下面介绍一种线性规划的例子。有n种食物，每种含有m种营养成分，第j种食物每个单位含第i中营养成分为aij，已知每人每天对第i中营养成分的最低需要量为bi，第j种食物的单价是cj，指导老师：张三敖作者简介：白超群（1991-），男（汉），陕西省榆林市佳县试问一个消费者应如何选择食物才能既满足需要，又花费最小。设选购第j种食物的数量为jx(j=1，2，…，n)则其关系可用矩阵表示为Axb0x，且min()fxcx，其中A=11121m21222mm1m2mmaaaaaaaaa，b=12mbbb,cT=12nccc。2.线性代数模型自然科学和工程实践很多问题的解决都归纳为线性方程组的求解和矩阵计算。有些问题本身就是一个线性方程组,例如结构引力分析问题、电子传输网分析问题、投入产出分析问题和各种晶体管电路分析问题；另一方面有些数值方法也导致线性方程组求解,如数据拟合问题、非线性方程组和偏微分方程数值解问题等等。2.1曲线拟合问题：已知一组(二维)二维数据即平面上n个点(ix，iy)，寻求一个函数（曲线）()yfx，使()fx在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。曲线拟合问题最常用的解——线性最小二乘法的基本思路：(a)先选定一组函数1()rx，2()rx,…()mrx，mn,令1122()()()()nnfxarxarxarx…,其中1a,2a,…,ma为待定系数。(b)确定1a,2a,…,ma的准则(最小二乘准则):使n个点(ix,iy)与曲线()yfx的距离1的平方和最小。记J(1a,2a,…,ma)=211ni=[()iifxy]2=11[nmkkikar(xi)-yi]2问题归结为求a1,a2,…,am,使得J(a1,a2,…,am)最小。超定方程组是方程个数大于未知量个数的方程组:111212nim11n12n2nnmarararyarararyn(nm)写成矩阵形式为Ra=y,其中R=11121mn1n2rrrrrrnm,a=1naa,y=1nyy超定方程组一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量a使得1i12i21(ararar)nmimiiy2达到最小，则称a为上述超定方程组的最小二乘解。曲线拟合的最小二乘法要解决的问题,实际上就是求一下超定方程组的最小二乘解的问题。Ray，其中R=1111rxrxrxrxmnmn,a=1maa,y=1nyy定理:TRR可逆时,超定方程组存在最小二乘解，即为方程组TTRRaRy的解:1()TTaRRRy。2.2减少遗传病问题:遗传病就是由于父母或家庭遗传基因所造成的,常染色体遗传病锁对应的基因将人口分成三类:AA型为正常人,Aa型为隐性患者，aa型为显性患者。由于后代是各从父体或母体的基因对中等可能的得到一个基因而形成自己的基因对，故父母代的基因对和子代基因之间的转移概率可如下所示:子代概率父体-母体基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21设这些患者在第n代人口中所占的比例分别为x1(n),x2(n),x3(n),在控制结合的情况下,当前社会中没有线性患者,只有正常人和隐性患者,且他们分别占总人数的85%和15%。考虑下列两种结合方式对后代遗传基因型分布的影响。(1)同类基因型结合；(2)显性患者不允许生育,隐性患者必须与正常人结合。设当前该遗传病的人口比列状况为初始分布x1(n),x2(n),x3(n)；以后第n代的分布为x1(n),x2(n),x3(n),令A=11/2001/2001/41,B=11/2001/20000,()nX=123nnnxxx,(1)X=85%15%0,那么()(1)1nnXAXX,()(1)1nnXBX。到此,我们可以借助MATLAB6.5这款软件来计算模拟20代后两种方式对该遗传病基因型的分布:(1)X(20)=0.924999928474430.000000143051150.07499992847443,继续输入命令，我们可得到此种方式下在51代的时候该疾病基因型分布趋于稳定，将出现7.5%的稳定显性患者，而隐性患者消失。(2)X(20)=1.00000.00000,可得在第二种方式下，在很多代后，不但不会出现显性患者,更值得高兴的是,连隐性患者也趋于消失。所以为了避免某些遗传病的发生,最好采用一些有效控制结合的手段。3.微分方程模型微分方程是研究函数变化过程中变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用,如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程,即微分方程来加以描述。矩阵较多的用在微分方程，尤其是方程组有关的理论结果的标识上。3.1设(,1,2,)ijaijn为纯量函数，(1,2,,)icin为纯量。若1()xt同时满足n个一阶线性方程组所组成的线性微分方程组1()dxtdt=11()()()nijijatxtgt(1,2,)in及初始条件为1(0)(1,2,)ixcin，则这线性微分方程组可以用以下矩阵表示：()()()(0)DXAtXtgtdtXC,其中()At=[()]ijnnat,X(t)=12()()()nxtxtxt,g(t)=12()()()ngtgtgt,C(t)=12nccc。3.2设()ft,()iat(1,2,1)in为纯量函数，(1,2,1)jcjin为纯量，若纯量函数()yt满足n阶线性纯量微分方程y(n)+an+1(t)yn-1+…+a1(t)y’+a0(t)y=()ft及初始条件(1)(0)(1,2,1)jycjn…,可令iyx,…1nnyx，上式可以用以下的一阶方程组表示为:12231101()()()nnnnndxxdtdxxdtdxxdtdxatxatxftdt写成向量形式为()()()dXAtXtFtdt及(0)XC其中A(t)=012101000010()()()()natatatat,F(t)=000()ft,X=12()()()nxtxtxt,C=12nCCC。这样我们就把n阶线性微分方程化为等价的一阶线性微分方程组。微分方程的稳定分析中也使用矩阵,利用矩阵表示线性微分方程和线性微分方程组不仅形式简单,而从矩阵函数的角度来研究线性微分方程和线性微分方程组的求解问题,可使求解问题得到简化。参考文献：[1]张国权.数学实验[M].北京:科学出版社.2004.[2]王能超.数值分析简明教程[M].北京:高等教育出版社.2003.[3]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003.