数学建模案例分析3随机性人口模型--概率统计方法建模

§3随机性人口模型如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程。记tZ—时刻t的人口数（只取整数值）ntZptpn—人口为n的概率模型假设1、在ttt,出生一人的概率与t成正比，记作tbn，出生二人及二人以上的概率为to；2、在ttt,死亡一人的概率与t成正比，记作tdn，死亡二人及二人以上的概率为to；3、出生与死亡是相互独立的随机事件；4、进一步设nb和nd均为与n成正比，记,,ndnbnn和分别是单位时间内1n时一个人出生和死亡的概率。模型建立由假设3~1，可知nttZ可分解为三个互不相容的事件之和：1ntZ且t内出生一人；1ntZ且t内死亡一人；ntZ且t内无人出生或死亡。按全概率公式tdtbtptdtptbtpttpnnnnnnnn1)(1111即)(1111tpdbtpdtpbttpttpnnnnnnnnn令0t，得关于tpn的微分方程tpdbtpdtpbdtdpnnnnnnnn1111又由假设4，方程为tnptpntpndtdpnnnn1111（1）若初始时刻)0(t人口为确定数量0n，则tpn的初始条件为00,0,10nnnnpn（2）（1）在（2）条件下的求解非常复杂，且没有简单的结果，不过人们感兴趣的是tZE和tZD（以下简记成)(tE和)(tD）。按定义1nntnptE（3）对（3）求导并将（1）代入得11211111nnnnnntpntpnntpnndtdE（4）注意到11111111,11kknnnkkntpkktpnntpkktpnn代入（4）并利用（3），则有tEtnpdtdEnn1)(（5）由（2）得tE的初始条件00nE，求解微分方程（5）在此初始条件下的解为rentErt,0（6）可以看出这个结果与指数模型rtextx0形式上完全一致。随机性模型（6）中出生率与死亡率之差r即净增长率，人口期望值呈指数增长，tE是在人口数量很多的情况下确定性模型的特例。对于方差tD，按照定义122nntEtpntD，用类似求tE的方法可推出1)(0tteentD（7）tD的大小表示人口tZ在平均值tE附近的波动范围。（7）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净增长率r的增加而变大，而且即使当r不变时，它也随着和的上升而增长，这就是说，当出生和死亡频繁出现时，人口的波动范围变大。