数学建模的方法

容器中装有5000升水，放入20千克的盐，充分溶解后，再以25升/分钟的速度注入浓度为0.03千克/升的盐水，注入时迅速搅拌均匀，同时以相同的速度流出经混合后的盐水。问30分钟后容器中的含盐量。设t时刻的池里浓度为w1t+△t时，且△t→0时池里浓度为(5000w+△tx25x0.03)/(5000+25△t)=w2即（w2-w1）/△t化简得（w2-w1）/△t=(25x0.03-25w)/(5000+25△t)因为△t→0所以dw/dt=(w2-w1)/△t=(25x0.03-25w)/5000所以有dw/(25x0.03-25w)=dt/5000两边积分且w0=0.004kg/Lt0=0min化简得w=0.03-0.026e-t/200所以m=wL=5000(0.03-0.026e-t/200)当t=30min是m=38.1kgA题：水资源短缺风险综合评价（2011数模夏令营试题）水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。近年来，我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施,如南水北调工程建设,建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：1评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？3对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。4以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。附表1979年至2000年北京市水资源短缺的状况年份总用水量(亿立方米)农业用水(亿立方米)工业用水(亿立方米)第三产业及生活等其它用水(亿立方米)水资源总量（亿方）197942.9224.1814.374.3738.23198050.5431.8313.774.9426198148.1131.612.214.324198247.2228.8113.894.5236.6198347.5631.611.244.7234.7198440.0521.8414.3764.01739.31198531.7110.1217.24.3938198636.5519.469.917.1827.03198730.959.6814.017.2638.66198842.4321.9914.046.439.18198944.6424.4213.776.4521.55199041.1221.7412.347.0435.86199142.0322.711.97.4342.29199246.4319.9415.5110.9822.44199345.2220.3515.289.5919.67199445.8720.9314.5710.3745.42199544.8819.3313.7811.7730.34199640.0118.9511.769.345.87199740.3218.1211.111.122.25199840.4317.3910.8412.237.7199941.7118.4510.5612.714.22200040.416.4910.5213.3916.86注：2000年以后的数据可以在《北京2009统计年鉴》上查到。深圳也是我国严重缺水的城市。你们也可取代北京，对深圳水资源短缺风险进行相应的研究。论文摘要：针对水资源短缺风险评价中的各风险因子的模糊性和不确定性，本文对水资源短缺风险发生的概率和缺水程度进行综合评价。首先从利用前人已得到国际认可的有关风险的定义出发，构造模糊函数描叙某地区在特定时空条件下水资源系统的模糊性，然后结合风险函数来建立数学模型，划分风险等级，接着引用北京市有关水资源短缺风险数据进行验证和综合评价，最后利用回归模型对北京市水资源的短缺风险进行预测，并提出相应的措施。1.研究背景随着社会经济的发展和环境的变化，水资源短缺问题日益严重，从而引起相关组织对水资源的关注，同时这一热点问题也引起了大量的学者针对这一问题进行探讨，为了寻求对水资源短缺风险评估和优化水资源管理，国内也已有一部分研究成果，如基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型及应用，基于模糊综合评价的水资源短缺风险分析，区域水资源短缺风险的SPA-VFS评价模型，以及区域水资源短缺风险决策研究等。要探讨这一问题，首先应对风险进行定义，根据题意：风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。在这里，我们组采取有Kaplan提出的现在最具代表性的风险定义，由于此定义已经得到国际社会的广泛认可，即Risk=｛si，pi（ai），pi（xi）｝式中：si为第i个有害事件，ai表示第i个事件发生的频率，pi（ai）表示第i个有害事件发生的可能性为的概率;xi表示第i个事件的结果；pi（xi）表示第i个事件结果为x的概率，风险模型采用向量的表示形式。这个问题的研究的共同特点都是在于水资源系统是一个复杂多变的存在这随机性和模糊性，我们的目标是寻求一种更接近现象实际数据的模糊模型，进而推出风险评价方程。2基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型的建立根据上面引用的风险定义，又由于题意知道：水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失，基于上述理由，我们设计了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型。（1）基于模糊概率的水资源短缺风险对于一个地区的水资源系统来说，主要是由水量（来水）W和需水量（用水）决定的，发生事故即W-W小于零，由于水资源系统的的模糊不确定性，我们构造一个函数来描叙供水事故带来的损失。定义模糊集W如下：W=｛x：0≤P（x）≤1｝式中：x为缺水量，x=W-W;P(x)为缺水量在模糊集上的损失概率函数，构造如下：P（x）=0，x0=(x/W)，0xW=1,xW式中：W、W分别为供水量和需水量；W为缺水系列中最大缺水量；p为大于1的正整数。将水资源短缺风险定义为模糊事件1发生的概率，即模糊概率为P（1）=∫R2P1（y）dp式中：为n维欧式空间；p1(y)为模糊事件1的隶属函数；p为概率测定P（1）=∫R2P1（y）f(y)dy其中f（y）是随机变量y的概率密度函数。水资源短缺风险的定义表示为R=∫0∞P1（x）f(x)dx从式可知；上述风险的模糊性和随机函数联系在一起，其中，随机不确定性体现了水资源短缺风险发生的概率，而模糊不确定性侧体现了水资源风险程度。依据概率密度函数f(x)和隶属函数的形式计算水资源短缺风险R水资源短缺风险的模拟概率分布模拟系列的概率分布一般（5）判别分析判别分析可用于识别影响水资源短缺风险的敏感因子，能够从诸多表明观测对象特征的自变量中筛选出提供较多信息的变量，且使这些变量之间的相关程度较低。线性判别函数的一般形式为：y=a1x1+a2x2+…+anxn其中y为判别分数，xi（i=1,2，…，n）为反映研究对象特征的变量，ai（i=1,2，…，n）为各变量的系数，也称判别系数。常用的判别分析方法是进入判别函数，其计算公式如下研究区：北京市北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施,如南水北调工程建设,建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。1.北京市水资源短缺风险影响因子分析北京市水资源开发利用中存在的问题主要有：（1）上游来水衰减趋势十分明显；（2）长期超采地下水导致地下水位下降（3）水污染加重了水危机（4）人口膨胀和城市化发展加大了生活用水需求等。因此导致北京市水资源短缺的主要原因有资源型缺水和水质型缺水等.影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两个方面：（1）自然因素：人口数、入境水量、水资源总量、地下水位埋深（2）社会经济环境因素：污水排放总量、污水处理率、COD排放总量、生活用水量、农业用水量。2.北京市水资源短缺风险评价Logistic回归模型的建立由于知道有关北京市1979-2000年的总用水量、农业用水、第三产业及生活等其他用水、水资源总量。根据经验建立logistic回归模型，关于应对北京市水资源短缺风险的报告北京市水行政主管部门：根据我们团队的查阅资料及积极思考，分析出造成北京市水资源短缺的主要风险因子为水资源总量、污水排放、农业用水量、生活用水量。现将北京市水资源慨况报告如下：如今北京市快速的城市化与工业化，在一定程度上已经影响到了人口、资源、环境与经济协调发展这一原则，根据1979年至2000年北京市水资源短缺的状况表，总结出北京市这些年来基本上处于缺水状态，而也有计算表明，目前北京水资源储量为18.27亿立方米，外地入境水资源19.15亿立方米，合计北京水资源总量为年37.42亿立方米，人均拥有366.8立方米／年，仅占全国平均值的13.8％，在世界120个国家的首都中居百位之后。由于北京地下近似闭合流域，其地下出入境水量为零。北京地表水出境水量经多年观测约占年降水总量的14.28％，即为14.38亿立方，各种损耗为3.32亿立方米，因此北京水资源为实际可用水量仅为19.72亿立方米。所以北京是一座水资源严重短缺的城市。按照中央确定的发展战略，21世纪中期我国将达到中等发达国家水平，首都北京将建设成为清洁、卫生、优美的一流国际化大都市，实现碧水蓝天的环境保护目标，所以，在当前的发展和建设中，一定要量水而行，量水发展，要以水资源条件为基础，严格控制城市规模、人口规模和经济规模，不断调整和完善产业和产品结构。现将一些关于应对北京市水资源短缺风险的建议报告如下：针对北京市严重的水污染问题，我们觉得应该进一步加强长效管理机制和寻找更有效处理方式来控制水污染，主要可通过以下七种方式：1)统一和加强污染监测系统。由于某些排污许可证的发放、监控和实施不力，导致污水排放控制制度不能发挥有效的作用，并且受地方和部门利益的影响，缺乏综合的流域管理，地方政府对污染控制的努力不够，为实行有效的污染控制所需要的各种措施，必须提高污染监控能力。目前的水监测系统涉及环保部、水利部、住房和城乡建设部等多个部门，这种分割的系统必须改革。就应加强各监测系统之间的协调，采用统一的监测标准，根据相同的程序、通过同一渠道发布水质信息，采取协调联动的方式，强化联合执法，如有必要，可将这些不同的监测系统加以整合，并由一个独立于各部的第三方机构进行管理。2)修订和完善现有与水相关的法律法规。由于