数学建模试卷

1、从一个酵母培养物增长的实验中采集到的数据如下表和下图所示（增长率是根据数值微分三点公式计算所得）：时间(小时)0123456酵母生物量(克)9.618.329.047.271.1119.1174.6增长率(%)80.253.049.844.650.643.539.6时间(小时)78910111213酵母生物量(克)257.3350.7441.0513.3559.7594.8629.4增长率(%)34.226.218.411.67.35.93.7时间(小时)1415161718酵母生物量(克)640.8651.1655.9659.6661.8增长率(%)1.71.20.60.40.2(1)根据以上图表，文字描述酵母生物量的变化过程，并初步分析其原因；(2)请引入合理的简化假设，建立数学建模，描述酵母生物量的变化过程；(3)你建立的模型包含有哪些参数？这些参数的实际意义是什么？如何估计模型中的参数？2、司机培训课程有这样的“2秒规则”——即在正常驾驶条件下，后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒钟之后到达同一标志，而不管车速如何。下表是由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据，车速的单位是英里/小时，距离的单位是英尺，时间的单位是秒。（单位换算：1英里＝5280英尺）反应距离和制动距离的实际观测值车速v（英里/小时）刹车距离d（英尺）车速v（英里/小时）刹车距离d（英尺）范围平均值范围平均值2040—444260228—2682483069—7873.570314—37234340108—12411680422—50646450160—186173请建立数学模型，根据以上数据，经过简单的计算，回答以下问题：（1）“2秒规则”足够安全吗？（2）有没有更合理的规则？3、建立数学模型，给出计数器读数n与录像带转过时间t的关系，这样计数器就可以起到记录时间的作用。录像机计数器工作原理如下图。录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满左轮盘，右轮盘的轴与计数器相连，右轮转的圈数与计数器读数成正比，开始时右轮盘是空的，计数器读数为0000。录像带从左往右运动，与小马达相连的主动轮的转数是固定不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，录像带的运动速度（线速度）为常数，使得录像机播放出稳定的图像。随着录像带从左向右运动，右轮盘半径增加，转速越来越慢，计数器读数的增长就越来越慢。（1）为了建模，需要引入哪些变量和参数？（2）根据以上分析写出模型假设。（3）建立数学模型(提示：通过计算缠绕在右轮盘上的录像带m圈的长度来建模)。（4）模型中可能有很多个参数，并且难以一一直接测量，事实上也没必要那样做。如何辨识模型中的参数？4、汽车配件厂为装配流水线轮换生产若干种部件。每轮换生产一种部件，都因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）。同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付贮存费。今已知装配线对某一部件的日需求量100件，该产品的生产准备费为5000元，贮存费每日每件1元。如果配件厂的生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货。（1）请制定该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使每天的平均费用最小。（2）若生产准备费增加1%，问生产周期变化有多大？左轮盘右轮盘录像带磁头计数器主动轮压轮0000录像机计数器工作原理示意图5、1790至2000年美国每隔十年的人口统计数据如下表和下图所示（年增长率是根据数值微分三点公式计算所得）：(1)根据以上图表，文字描述美国人口的变化过程，并初步分析其原因；(2)请引入合理的简化假设，建立数学建模，描述美国人口的变化过程；(3）你建立的模型包含有哪些参数？这些参数的实际意义是什么？如何估计参数？6、司机培训课程有这样的“1车长度规则”——在正常驾驶条件下，车速是x公里/小时，前后车的距离就应该至少x米（例如x=50,60,……,100）。下表是由美国公路局提供的刹车距离实际观测数据，车速的单位是英里/小时，距离的单位是英尺，时间的单位是秒。年份17901800181018201830184018501860人口(百万)3.95.37.29.612.917.123.231.4年增长率(%)2.953.112.992.972.913.013.082.45年份18701880189019001910192019301940人口(百万)38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年增长率(%)2.442.422.051.911.661.461.021.04年份195019601970198019902000人口(百万)150.7179.3204.0226.5251.4281.4年增长率(%)1.581.491.161.0541.091.16（单位换算：1英里＝5280英尺）反应距离和制动距离的实际观测值车速v（英里/小时）刹车距离d（英尺）车速v（英里/小时）刹车距离d（英尺）范围平均值范围平均值2040—444260228—2682483069—7873.570314—37234340108—12411680422—50646450160—186173请建立数学模型，根据以上数据，经过简单的计算，回答以下问题：(1)司机培训课程所教的保持车距规则足够安全吗？(2)有没有更合理的规则？7、设某城市1992—1998年电视机实际销售量和年增长率如下表和下图所示（年增长率是根据数值微分三点公式计算所得）：(1)根据以上图表，文字描述销售量的变化过程，并初步分析其原因；年份1992199319941995199619971998售量(千台)9.517.225.433.836.938.639.7年增长率(%)78.446.232.717.06.53.62.0(2)请引入合理的简化假设，建立数学建模，描述销售量的变化过程；(3）你建立的模型包含有哪些参数？这些参数的实际意义是什么？如何估计模型中的参数？