数学归纳法试题_经典2

11、用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=aan112)1(a错误!未找到引用源。”在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=aan112)1(a”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．解答：解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=错误!未找到引用源。”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选C．点评：此题主要考察数学归纳法证明不等式的问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题目．2、用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=错误!未找到引用源。，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A、k2+1B、（k+1）2C、2)1()1(24kkD、（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2分析：首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=224nn时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．解答：解：当n=k时，等式左端=1+2++k2，当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2，增加了2k+1项．故选D．点评：此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．3、用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A、1+3+5+…+（2k+1）=k2B、1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C、1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2D、1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2专题：阅读型。分析：首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．解答：解：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故选B．点评：此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．5、用数学归纳法证明nn121......31211”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A、2k﹣1B、2k﹣1C、2kD、2k+1考点：用数学归纳法证明不等式。分析：考察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为121n，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为错误!未找到引用源。；由n=k，末项为错误!未找到引用源。到n=k+1，末项为kkk2121211，∴应增加的项数为2k．故选C．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．6、在数列{an}中，nnan21121......4131211，则ak+1=（）A、121kakB、421221kkakC、221kakD、221121kkak考点：数列的概念及简单表示法。2分析：由已知中nnan21121......4131211，我们依次给出a1，a2，…，an，ak的表达式，分析变化规律，即可得到ak+1的表达式．解答：解：∵nnan21121......4131211，故选：D．点评：本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．7、用数学归纳法证明：当n∈N*时，1+2+22+…+25n﹣1是31的倍数时，当n=1时，原式的值为31；从k到k+1时需增添的项是25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4．专题：规律型。分析：从式子1+2+22+…+25n﹣1是观察当n=1时的值以及当从n=k到n=k+1的变化情况，从而解决问题．解答：解：当n=1时，原式的值为1+2+22+23+24=31，当n=k时，原式=1+2+22+…+25k﹣1当n=k+1时，原式=1+2+22+…+25k+4∴从k到k+1时需增添的项是25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4故填：3225k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立8、若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．考点：数列递推式。专题：计算题。分析：分别求得f（k）和f（k+1）两式相减即可求得f（k+1）与f（k）的递推关系式．解答：解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．点评：本题主要考查了数列的递推式．属基础题．9、已知21......21111)(nnnnnf则（）A、f（n）中共有n项，当n=2时，3121)2(fB、f（n）中共有n+1项，当n=2时，413121)2(fC、f（n）中共有n2﹣n项，当n=2时，3121)2(fD、f（n）中共有n2﹣n+1项，当n=2时，413121)2(f考点：数列的求和。专题：计算题。分析：观察数列的通项公式，可得分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列，从而可得项数为n2﹣n+1解答：解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选D点评：本题主要等差数列通项公式的简单运用，考查考生的基本运算的能力、对公式的基本运用的能力．10、已知nnnnnf21......312111)(，则)1(nf（）A、)1(21)(nnfB、)1(21121)(nnnfC、)1(21)(nnfD、)1(21121)(nnnf考点：数列递推式专题：计算题。分析：有题意得，f（n）共有n项且各项的分母从n+1变到2n，故得到f（n+1）的代数式，再用f（n）表示．解答：解：∵nnnnnf21......312111)(∴错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=f（n）+错误!未找到引用源。∴故选D3点评：本题观察式子f（n）的特点，找出项数和项的变化规律，求出f（n+1），再与f（n）对比用其表示．11、设nnnnnf21......312111)(（n∈N*），那么)()1(nfnf等于（）A、121nB、221nC、221121nnD、221121nn考点：数列递推式。专题：计算题。分析：根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．故答案选D．点评：此题主要考察数列递推式的求解．12、在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（）A、2k+1B、2（2k+1）C、112kkD、132kk考点：数学归纳法。专题：归纳法。分析：欲求从k到k+1，左端需要增加的项，先看当n=k时，左端的式子，再看当n=k+1时，左端的式子，两者作差即得．解答：解：当n=k+1时，左端=错误!未找到引用源。11k（k+1）（k+2）（k+k）（k+k+1）（k+1+k+1），所以左端增加的代数式为（k+k+1）（k+1+k+1）11k=2（2k+1），故选B．点评：本题主要考查数学归纳法，必须注意数学归纳法从k到k+1的变化的形式．13、利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是2（2k+1）．考点：数学归纳法。专题：综合题。分析：考察等式两侧的特点，写出左侧n=k和n=k+1的表达式，进行比较，即可推出左边应增乘的因式．解答：解：当n=k（k∈N*）时，左式为（k+1）（k+2）（k+k）；当n=k+1时，左式为（k+1+1）•（k+1+2）••（k+1+k﹣1）•（k+1+k）•（k+1+k+1），则左边应增乘的式子是)12(21)22)(12(kkkk．故答案为：2（2k+1）点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．14、设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f（k），则f（k+1）与f（k）的关系是（）A、f（k+1）=f（k）+k+1B、f（k+1）=f（k）+k﹣1C、f（k+1）=f（k）+kD、f（k+1）=f（k）+k+2考点：归纳推理。专题：探究型。分析：考虑当n=k+1时，任取其中1条直线，记为l，由于直线l与前面n条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k个交点，从而得出结果．解答：解：当n=k+1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f（k），因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交（有k个交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f（k）个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f（k）+k=f（k+1）．故选C．点评：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．15、某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A、当n=6时，该命题不成立B、当n=6时，该命题成立C、当n=4时，该命题不成立D、当n=4时，该命题成立考点：数学归纳专题：计算题。分析：本题考察的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此4类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．解答：解：由题意可知，P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．故选C点评：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．16、12.一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.17(8n－1)个D.17(8n＋1)个[答案]C[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，