数学必修五第一章解三角形单元质量评估(一)

第一章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．一解或两解D．无解解析：因为a＝bsinA，故该三角形有一解．答案：A2．边长为2,4,23的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：由已知条件可知，该三角形是直角三角形，而且最小角为30°，所以最大角与最小角的和是120°.故选B.答案：B3．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B.2C．2D．3＋3解析：∵AB＝3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得asinA＝csinC⇒BCsin45°＝ABsin75°，即BC22＝36＋24.∴BC＝3－3.答案：A4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.32解析：根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝9＋4－102×3×2＝14.于是，AB→·AC→＝AB·ACcosA＝3×2×14＝32.答案：D5.某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要()A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元解析：草皮的面积为12×20×30×sin150°＝150(m2)．答案：C6．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinBcosC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒A为直角；而由sinA＝2sinBcosC，可得sin(B＋C)＝2sinBcosC，整理得sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，故B＝C.综合上述：B＝C＝π4，A＝π2.答案：D7．在△ABC中，AB，则以下不等式正确的个数为()①sinAsinB②cosAcosB③sin2Asin2B④cos2Acos2BA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由题意知，sinAsinB，cosAcosB均正确，由sinAsinB0可知sin2Asin2B，∴cos2Acos2B.故正确个数为3个，∴选D.答案：D8.在△ABC中，A＝15°，B＝30°，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b＝1，则△ABC的面积为()A.3＋12B.3－12C.3－14D.3＋14解析：由1sin30°＝csin135°，得c＝2，又sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×1×2×6－24＝3－14.答案：C9．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为()A．5000米B．50002米C．4000米D．40002米解析：如图，在△ABC中，AB＝10000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理，BC＝ABsinAsinC＝10000×1222＝50002(米)．答案：B10．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.1507分钟B.157分钟C．21.5分钟D．2.15分钟解析：设t小时后，甲、乙两船相距l千米，此时甲离B岛(10－4t)千米，乙离B岛6t千米．根据余弦定理，l2＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)×6tcos120°＝28t2－20t＋100.当t＝202×28＝514小时＝1507分钟时，甲、乙两船相距最近．答案：A11．在△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：由已知得AB→2＝AB→·(AC→＋CB→)＋CA→·CB→＝AB→2＋CA→·CB→⇒CA→·CB→＝0，即CA→⊥CB→，故三角形是以角C为直角的直角三角形．答案：D12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为()A．2sinα－2cosα＋2B．sinα－3cosα＋3C．3sinα－3cosα＋1D．2sinα－cosα＋1解析：每个等腰三角形的底边为2sinα2，底边上的高为cosα2，所以该八边形的面积为4×12·2sinα2·cosα2＋4sin2α2＝2sinα－2cosα＋2.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝________.解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c＝7.∴由正弦定理有sinA＝asinCc＝5314.答案：531414．若3a＋b＝2c,2a＋3b＝3c，则有sinA∶sinB∶sinC＝________.解析：解方程组3a＋b＝2c2a＋3b＝3c⇒a＝37cb＝57c⇒a∶b∶c＝3∶5∶7，∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝3∶5∶7.答案：3∶5∶715．在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若B＝2A，则ba的取值范围是________．解析：C＝π－A－B＝π－3A，∴0π－3Aπ202Aπ2⇒π6Aπ4.由正弦定理得ba＝sin2AsinA＝2cosA∈(2，3)．答案：(2，3)16．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．解析：设台风中心开始时的位置为P，移动后(A码头受到台风影响时或影响结束时)的位置为Q，记PQ＝x，由题意得3502＝4002＋x2－2x·400cos60°，解得x＝150或250，则A码头从受到台风影响到影响结束时台风中心移动的距离为100千米，需时间2.5小时．答案：2.5三、解答题(共70分)17．(本小题10分)(2010年全国卷Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝513，cos∠ADC＝35，求AD.解：由cos∠ADC＝350知Bπ2，由已知得cosB＝1213，sin∠ADC＝45，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得ADsinB＝BDsin∠BAD，所以AD＝BD·sinBsin∠BAD＝33×5133365＝25.18．(本小题12分)如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，AD＝6，S△ACD＝1532，求AB的长．解：在△ACD中，S△ACD＝12AC·ADsin∠1，∴sin∠1＝2S△ACDAC·AD＝2×15327×6＝5314，∴sin∠2＝5314.在△ABC中，BC＝ACsin∠2sin60°＝5且cos∠2＝1－sin2∠2＝1114，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠2，即25＝AB2＋49－11AB，(AB－8)·(AB－3)＝0，∴AB＝8或AB＝3.19．(本小题12分)已知：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝45°，b＝10，cosC＝255.(1)求边a的长；(2)设D为AB的中点，求CD的长．解：(1)∵cosC＝255，sin2C＋cos2C＝1,0Cπ，∴sinC＝1－2552＝55.∵B＝45°，A＋B＋C＝π，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝22×255＋22×55＝31010.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得a＝bsinAsinB＝10×3101022＝32.(2)方法1：在△ABC中，由余弦定理得c2＝b2＋a2－2abcosC＝(10)2＋(32)2－2×10×32×255＝4，即AB＝c＝2，∴BD＝AD＝1.在△DBC中，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcosB＝12＋(32)2－2×1×32×22＝13，∴CD＝13.方法2：延长CD到E点，使CD＝DE，连接AE，BE，则四边形ACBE为平行四边形．(2CD)2＝BE2＋BC2－2BE·BCcos(π－∠ACB)＝(10)2＋(32)2－2×10×32×(－255)＝52，∴CD＝13.20．(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，整理得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理，sinB＝2sinA可转化为b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.21．(本小题12分)如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，∴A＝15°.由正弦定理知，BCsinA＝ACsinB，即30sin15°＝ACsin30°，∴AC＝30sin30°sin15°＝15(6＋2)(海里)．于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(海里)．它大于38海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险．22．(本小题12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，c＝3b，求：(1)ac的值；(2)1tanB＋1tanC的值．解：(1)由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝(13c)2＋c2－2·13c·c·12＝79c2，∴ac＝73.(2)1tanB＋1tanC＝cosBsinC＋cosCsinBsinBsinC＝sinAsinBsinC，由正弦定理和(1)知：sinAsinBsinC＝1sinA·a2bc＝1433＝1439，∴1tanB＋1tanC＝1439.