数学必修五第三章不等式单元质量评估(一)

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若ab，则下列各式中正确的是()A．a2b2B．a3b3C.1a1bD．log2alog2b解析：∵ab，取a＝1，b＝－2，可排除A，C，D，故选B.答案：B2．已知集合A＝{x|x2－x－20，x∈R}，B＝{x|x2－1≥0，x∈R}，则A∩B等于()A．{x|－1x2}B．{x|x≤－1或1≤x2}C．{x|1x2}D．{x|1≤x2}解析：A＝{x|－1x2}，B＝{x|x≥1，或x≤－1}，则A∩B＝{x|1≤x2}，故选D.答案：D3．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是()A．(－3,4)B．(－3，－4)C．(0，－3)D．(－3,2)解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝50，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x＋2y＋50，可以验证仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋50，故选A.答案：A4．若x0，y0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值164C．最小值64D．最小值12解析：∵x0，y0，2x＋8y＝1，∴1＝2x＋8y≥22x·8y.∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝16时取等号．∴xy≥64.答案：C5．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－2,2]C．(－2,2)D．(－∞，－2)解析：当a－2＝0时，a＝2，不等式显然恒成立．当a－2≠0时，需a－20，4a－22＋16a－20，解得－2a2.综上可知，－2a≤2.故应选B.答案：B6．函数y＝x2＋2x＋2x＋1(x－1)的图象的最低点坐标是()A．(1,2)B．(1，－2)C．(1,1)D．(0,2)解析：求函数图象最低点坐标，即求x为何值时，y最小．y＝x＋12＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1≥2，当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时取等号，∴当x＝0时，y最小＝2.∴图象最低点的坐标为(0,2)．故选D.答案：D7．已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．82D．42解析：∵|PA|＝|PB|，∴x2＋y－42＝x＋22＋y2，即x＋2y＝3.∴2x＋4y≥22x×4y＝22x＋2y＝42，当且仅当2x＝4y，即x＝32，y＝34时等号成立，故选D.答案：D8．若四个正数a，b，c，d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的正的等比中项，则x和y的大小关系是()A．xyB．xyC．x＝yD．x≥y解析：x＝a＋d2＝b＋c2，y＝bc.∵b，c都为正数，∴b＋c2≥bc(当且仅当b＝c时，取“＝”)．∴x≥y.答案：D9．已知▱ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在▱ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是()A．(－14,16)B．(－14,20)C．(－12,18)D．(－12,20)解析：如图，当直线y＝2x5－z5过(3,4)时，z最小，zmin＝－14，当直线y＝2x5－z5过(0，－4)时，z最大，zmax＝20，因此z的取值范围是(－14,20)．答案：B10．已知点O为直角坐标系原点，P，Q的坐标均满足不等式组4x＋3y－25≤0，x－2y＋2≤0，x－1≥0，则cos∠POQ取最小值时的∠POQ的大小为()A.π2B．πC．2πD.π4解析：作出不等式组的线性规划区域，如图，可求得A(1,7)，B(1，32)，C(4,3)，由图知∠POQ为锐角，由余弦函数的单调性知，当∠POQ最大时，cos∠POQ取最小值，即∠POQ＝∠AOC时满足条件．由距离公式计算，可得OA2＝50，OC2＝25，AC2＝25，由余弦定理得cos∠AOC＝OA2＋OC2－AC22·OA·OC＝50＋25－252×52×5＝22，∠AOC＝π4.答案：D11．(2012·福建高考)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2解析：可行域如图中的阴影部分所示，函数y＝2x的图象经过可行域上的点，由y＝2xx＋y－3＝0，得x＝1y＝2，即函数y＝2x的图象与直线x＋y－3＝0的交点坐标为(1,2)，当直线x＝m经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1，应选B.答案：B12．某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金，某顾客要买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A．大于10gB．小于10gC．大于等于10gD．小于等于10g解析：设天平的两边臂长分别为a，b，两次所称黄金的重量分别为xg，yg.则5a＝xb，ya＝5b，所以x＋y＝5ab＋5ba25ab·5ba＝10.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知axx－11的解集是{x|x1，或x2}，则实数a的值为________．解析：∵2是方程axx－1＝1的根，∴2a＝1，a＝12.答案：1214．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的取值范围是________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知不等式f(1－x2)f(2x)可化为1－x2≥0，2x≥0，1－x22x，或1－x20，2x0.解得0≤x－1＋2或－1x0.∴－1x－1＋2.答案：(－1，2－1)15．若a2010,0b1，则logab＋logba的取值范围是________．解析：∵a2010,0b1，∴logab0，logba0.∴－(logab＋logba)＝(－logab)＋(－logba)≥2－logab·－logba＝2logab·1logab＝2，∴logab＋logba≤－2.答案：(－∞，－2]16．已知点P(a，b)与点Q(1,0)在直线2x－3y＋1＝0的两侧，给出以下三个命题：①2a－3b＋10；②a≠0时，ba有最小值，无最大值；③a0且a≠1，b0时，则ba－1的取值范围为(－∞，－13)∪(23，＋∞)．请将正确命题的题号填在横线上________．解析：∵P，Q两点在直线2x－3y＋1＝0的两侧，∴(2a－3b＋1)(2－0＋1)0，即2a－3b＋10.故①不成立．P(a，b)所在区域如下图阴影．ba可理解为P与原点O的连线的斜率，它们不存在最值，所以②错；ba－1可理解为点P与点Q(1,0)连线的斜率，设直线2x－3y＋1＝0与y轴交点为A，由图知k∈(－∞，－13)∪(23，＋∞)，故③正确．答案：③三、解答题(共70分)17．(本小题10分)已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1，或xb}．(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.解：(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1，或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b1.由根与系数的关系得，1＋b＝3a，1×b＝2a，解得a＝1，b＝2.所以a＝1，b＝2.(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0，所以①当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；②当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.18．(本小题12分)解关于x的不等式x2－2x＋1－a2≥0.解：原不等式等价于(x－1)2－a2≥0，即(x－1－a)(x－1＋a)≥0，其对应方程的根为1＋a与1－a.由(1＋a)－(1－a)＝2a，得①当a0时，1＋a1－a，所以原不等式的解集为{x|x≥1＋a，或x≤1－a}；②当a＝0时，1＋a＝1－a，所以原不等式的解集为R；③当a0时，1－a1＋a，所以原不等式的解集为{x|x≥1－a，或x≤1＋a}．19．(本小题12分)设a，b，c0，a＋b＋c＝1，求证：3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.证明：不等式在a＝b＝c＝13时，等号成立，此时3a＋1＝3b＋1＝3c＋1＝2.由此可考虑配凑常数2，以便利用基本不等式．∵2·3a＋1≤2＋3a＋12＝3a＋32，同理，2·3b＋1≤3b＋32，2·3c＋1≤3c＋32，以上三式相加，并利用a＋b＋c＝1，得2(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)≤6，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.20．(本小题12分)(1)已知x0，y0，且x＋y＝1，求(x＋1x)2＋(y＋1y)2的最小值．(2)若x0，y0，x＋y＝1，求证：1x＋1y≥4.解：(1)∵(x＋1x)2＋(y＋1y)2＝x2＋y2＋1x2＋1y2＋4＝(x＋y)2－2xy＋1x2＋1y2＋4＝5－2xy＋1x2＋1y2.∵xy≤(x＋y2)2＝14，∴1xy≥4.∴5－2xy＋1x2＋1y2≥5－2×14＋2xy≥5－12＋8＝252.∴当且仅当x＝y＝12时，取等号，∴原式的最小值为252.(2)证明：∵x＋y＝1，x0，y0，∴yx0，xy0，∴1x＋1y＝x＋yx＋x＋yy＝2＋yx＋xy≥2＋2yx·xy＝4.21．(本小题12分)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解：(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy.∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使其面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小．22．(本小题12分)已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(300－y)，即z＝780－0.5x－0.8y.其中x，y应满足：x≥0，y≥0，200－x≥0，300－y≥0，x＋y≤280，200－x＋300－y≤360.作出上面的不等式组所表示的平面区域．设直线x＋y＝280与y轴的交点为M，则M(0,280)．把直线l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M(0,280)时，z的值最小．∵点M的坐标为(0,280)，∴甲煤矿生产的煤全部运往