数学思想在中考解题中的应用新课标人教版

数学思想在中考解题中的应用数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。要提高我们分析和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想。数学思想包括方程思想、不等式思想、函数思想、统计思想、整体代换思想、数行结合思想、分类讨论思想等。能否运用数学思想方法进行分析问题、解决问题关系到中考的成败。纵观各年的中考试题，在注重运用考察数学核心内容与基本能力的同时，考题中都突出了数学思想方法的理解和简单运用。下面我谈几种中考中常见的数学思想。一、方程思想方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决。例1、(河北省中考)一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是。答案:10%二、函数思想它一方面是指以函数概念为依托，运用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来，（即建立函数表达式）并加以研究，从而使问题获得解决。另一方面函数思想是对函数概念本质的认识，即利用函数的图像或函数的性质去分析、观察其它数学问题并加以解决。例2、(河北省中考)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为:答案:B例3、(河北省中考)在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是。（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么事件段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？OyXAoyXBoyXCoXD答案:25．解：（1）30厘米，25厘米；2小时，2.5小时。（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为11bxky。由图可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），∴3002111bbk，解得301511bk∴y＝－15x＋30设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为22bxky。由图可知，函数的图象过点（2.5，0），（0，25），∴2222.5025kbb，解得251022bk∴y＝－10x＋25（3）由题意得－15x＋30＝－10x＋25，解得x＝1，所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象可知：当0≤x＜1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1＜x＜2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低。三、整体代换思想例4、(宁波)已知:a－b＝b－c＝35a2＋b2＋c2＝1,则ab＋bc＋ca=_______________解答:a－b＋b－c＝a－c＝65(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝5425而a2＋b2＋c2＝1,很容易得出ab＋bc＋ca＝225例5、若m、n是方程x2＋2006x－1＝0的两个实数根，求代数式m2n＋mn2－mn的值。解：∵m＋n＝-2006，mn＝－1∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n)－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(-2007)＝2007四、数形结合思想数学知识尽管来源于生活实践，但数学最本质的东西是从生活实践中概括和抽象出来的。中考有些题需把抽象的知识具体化、形象化，通过直观的形象来分析解决问题。这就需用到数形结合思想。例6、(2006浙江省中考)如图，二次函数cbxaxy2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．(以下有（1）、（2）两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第（2）问计分)第（1）问：给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是（答对得3分，少选、错选均不得分）．第（２）问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确的结论的序号是（答对得5分，少选、错选均不得分）．分析:开口向上a＞0;对称轴x=2ba＞0可以得出b＜0;x=0时,y=c＜0;x=1时，y=a+b+c=0答案:（1）①，④,第二问①abc＞0很易判断；有图像经过点（-1，2）和（1，0）,代入函数得2=a-b+c,0=a+b+c,两式相加易得a+c=1;因a+b+c=0,得b=-1,易判断2ba＜0.5,解得a＞1;知道了a＞1,b=-1,得2a+b＞0.答案:（2）②，③，④五、转化思想转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想，转化思维是创造思维的核心。如:在解方程（组）时用到的消元、降次的思想;解分式方程时把分式方程转化为整式方程等等。任何一个数学问题都是通过“联想、构造、转化”的思维方式有机地进行数形转化，从而实现未知到已知的过程。渗透转化思想要引导学生以下几点：1、解方程（组）降次、换元、公式变形。2、一元二次方程和一元二次函数转化的思想3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化。4、代数、几何之间的转化思想。例7、证明方程(x-m)(x+n)=1有二个实根，证明一根大于m，一根小于m。证：设y=(x-m)(x+n)-1，则其图像为开口向上的抛物线，取其上一点（m,-1），此点在x轴下方，根据抛物线向上无限伸展的特性，必然与x轴交于两点，则交点A(x1,0)，B(x2,0)必在(m,-1)点的两旁，原题得证。(此题若用常规方法是十分困难的，但若能联系二次函数的图像，应用数形的转化，会使问题很快地得到解决。)例8、已知:x2-4x+1=0,求1xx的值.解析::将方程两边同时除以x,转化为1()xx2的形式.x-4+1x=0得1xx=4.(1xx)2＝(1xx)2－4=42－4=12六、分类讨论思想分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思维方法.把问题中所涉及的对象不重不漏的分成有限的若干类的情况.然后对每一种情况逐一解决,从而解决问题.例9、如图所示,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,若以A点为圆心,使其它三个点至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,求该圆的半径r的范围.分析:本题考察的是点与圆位置关系的实际意义.解:连接AC,由AB=6cm,BC=8cm,则AC=2268=10若r＜6cm,B、C、D三点在⊙A外;若r=6cm,B点在⊙A上,C、D在⊙A外;若6cm＜r＜8cm,B点在⊙A内,C、D在⊙A外;若r=8cm,B点在⊙A内,D在⊙A上,C在⊙A外;若8cm＜r＜10cm,B、D在⊙A内,C在⊙A外;若r=10cm,B、D在⊙A内,C在⊙A上;若r＞10cm,B、C、D都在⊙A内;综上知,当6cm＜r＜10cm,B、C、D至少有一个在⊙A内,一个在⊙A外.练习题:1、(2006浙江省中考)如果两点1P（1，1y）和2P（2，2y）都在反比例函数1yx的图象上，那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0D．1y＞2y＞02、(2006浙江省中考)在△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，DCBAoyx3-2ODCBA顶点C运动的路线长是A．3B．23C．D．433、设x1、x2是方程2x2-3x-4=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)=___________4、两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们订成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是。5、一根绳子弯曲成如图3－1所示的形状。当用剪刀像图3－2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3－3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段。若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n－1）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是A．4n＋1B．4n＋2C．4n＋3D．4n＋56、(2006年旅顺)如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的图象，观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围．7、如图，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC＝20°，那么∠ACB＝．8、根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？9、已知等腰三角形边长为4和6,求它的面积.答案:1、D2、B3、124、3＜x＜175、A6、－2＜x＜0或x＞37、70°8、解：设饼干的标价每盒x元，牛奶的标价为每袋y元，图3－1图3－2图3－3………aab小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好！还有找你的8角钱．一盒饼干的标价可是整数元哦！阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）①②③则108.0109.010x＜yxy＞x由②得y=9.2－0.9x④把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10∴x＞8由③得8＜x＜10∵x是整数∴x=9将x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1答：饼干一盒标价9元，一袋牛奶标价1.1元．9、解:当腰长为4时,S=37,当腰长为6时,S=82