数学思想方法同步讲座第1讲函数方程是一类新题

北中数学网共8页第1页数学思想方法同步讲坐第1讲函数方程是一类新题在考试大纲上，是找不到“函数方程”这个考点的！从内容上看，在“函数考章”中有5个考点：（1）映射.函数.函数的单调性、奇偶性.（2）反函数.互为反函数的函数图像间的关系.（3）指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.（4）对数.对数的运算性质.对数函数.（5）函数的应用.从题型上看，常规分类是：选择题，填空题，解答题三类.也不见函数方程的题型.经常提到的数学思想：（1）函数方程思想，（2）数形结合思想，（3）分类讨论思想，（4）化归与转化思想等等，高考命题难道可按数学思想分类？存在决定意识.高考试题的客观存在，决定了人们在试题分类上认识的深化.【例1】（2006年陕西卷·12）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（）A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7【分析】这是个什么问题？人们往往用“新题型”三字将其归类，或说详细点，这是一种“信息加密问题”——有的还很满足这种分类.殊不知,这种归类是一种“情境归类”或“形式分类”，没有归类到“数学内容”或“数学思想”的实质与高度上来.从数学的角度审视“信息加密”，这是一个从集合A（明文）到集合B（密文）的映射问题.因为集合A、B都是数集，所以加密问题是个“函数问题”，解密问题是对应的“反函数问题”.【解析】本题是信息安全与密码问题.欲求明文a，b，c，d，需建立关于a，b，c，d的四个方程.由于收到的密文是14，9，23，28时，由加密规则可得方程组214292323428abbccdd，解得6417abcd，此即为解密得到的明文，故选C．【点评】本题在考函数，在考哪一个具体函数？本题在考方程，在考哪一个具体方程？都不“具体”，本题是在考一种数学思想.所谓“函数方程思想”，就是函数与方程的“统一思想”.北中数学网共8页第2页本题中，加密是“函数建模”，解密是“函数还原”，前者是明文到密文的函数式，后者是密文到明文的方程（组）.初看解析，这似乎是一个单一的“方程问题”.那么试问：如果没有（背后的）函数，方程从何而来？如果把“函数问题”看作原问题，那么“方程问题”则为原问题的逆问题.如果函数与反函数是一个问题的两个方面，那么函数与方程这两个方面也统一在同一个整体之中.【链接】为了看清方程与函数的“平等地位”，我们可以从“加密函数式Ⅰ”中解出它的反函数式，即得“解密函数式Ⅱ”：（Ⅰ）43222dddcccbbbaa（Ⅱ）dddccdcbbdcbaa4/18/32/116/34/18/32/1当密文为a=14，b=9，c=23，d=28时，利用函数式（Ⅱ），可直接求得明文为a=6，b=4，c=1，d=7.事实上，信息安全部门在制作“密码本”时，“加密本”与“解密本”是同时“出版”的.说明了，这里的工作是把“函数问题”与“方程问题”视作对立的、一体的.【启示】高考命题，为什么“逆向问题”那么多？总在要你去待定、去假设、去探求？因为命题人考虑到，顺向考查只是一个单向，而逆向则是双向考查.这就是高考命题“热中逆向问题”的原因.逆向问题虽应从方程角度思考，但如果离开了正向的函数问题，则这个方程是盲目的、缺乏思想高度的.正是在这一点上,须要研究“函数方程的互逆性和统一性”.【例2】（2007年安徽·21）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)dd，因此，历年所交纳的储备金数目12aa，，是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)rr，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)nar，第二年所交纳的储备金就变为22(1)nar，．以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．（Ⅰ）写出Tn与1(2)nTn≥的递推关系式；北中数学网共8页第3页（Ⅱ）求证：nnnTAB，其中nA是一个等比数列，nB是一个等差数列．【分析Ⅰ】Tn与1(2)nTn≥都是数的集合，找它们的关系就是找函数关系，因此本题是一个求函数式的问题.函数式是一个等式，求等式就是“布列方程”，因此求函数式是一个列方程的过程.【解析Ⅰ】第n年末所累计的储备金总额=上年末储备金总额的（1+r）倍+当年交纳的储备金用符号表示就是：1(1)(2)nnnTTran≥．这就是所求的Tn与1(2)nTn≥的递推关系式【点评Ⅰ】本题是用“布列方程求函数式”的典型.第一步，用Tn–1作“未知数”；第二步，用含未知数Tn–1的代数式来表示其他“未知量”：Tn–1(1+r)+an；第三步，用列代数式时没有用过的等量关系组织等式：1(1)(2)nnnTTran≥.这个等式就是所求的方程，即本题所求的函数式.【分析Ⅱ】nnnTAB的意思是，数列Tn可写成数列An与数列An的和.为此可考虑先求出数列Tn的通项公式.【解析Ⅱ】由递推式T1=a1，Tn=Tn–1(1+r)+an得关于T1，T2，…，Tn的n元方程组：nnnarTTarTTarTTaT)1()1()1(132321211消T1，得T2=a1(1+r)+a2；消T2，得T3=a1(1+r)2+a2(1+r)+a3；……消Tn–1，得Tn=a1(1+r)n–1+a2(1+r)n–2+…+an–1(1+r)+an.【插话】T1，T2，…，Tn–1已全部消去，Tn已经求出.以下只是一个对Tn表达式化简的问题.仍可按“函数方程问题”来处理.【续解Ⅱ】将上面Tn的表达式看作方程，将方程两边同乘以(1+r)得新方程，两方程联立北中数学网共8页第4页(2))1()1()1()1((1))1()1(1212211rararaTrararaTnnnnnnnn（2）–（1）得rTn=a1(1+r)n+(a2+a1)(1+r)n–1+…+(an–an–1)(1+r)–an=a1(1+r)n+d［(1+r)n–1+(1+r)n–2+…+(1+r)］–an1[(1)1](1)nnndrrarar．即1122(1)nnardarddTrnrrr．如果记12(1)nnardArr，12narddBnrr，则nnnTAB．其中nA是以12(1)ardrr为首项，以1(0)rr为公比的等比数列；nB是以12arddrr为首项，dr为公差的等差数列．【点评Ⅱ】本题的第（Ⅰ）问是布列方程的问题，第（Ⅱ）问是方程组求解的问题.把函数式Tn=Tn–1(1+r)+an看作含T1、T2、…、Tn的n方程组，并用消元法从中解出Tn，是函数与方程的精彩转换.【小结】本题的知识载体是“特殊的”数列内容：等差数列与等比数列、由数列的递推式求数列的通项公式等等.本题的思想则是“普遍的”函数方程思想.本题以函数设问，用方程作答，函数与方程的视角随机换位，按其所需.【例3】（2007年重庆卷第22题Ⅱ）如图1，（Ⅰ）（求得）椭圆的方程1273622yx.（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点321,,PPP，使133221FPPFPPFPP，证明||1||1||1321FPFPFP为定值，并求此定值.【说明】心里有什么，眼里就看到什么！对于本题——心里有函数的人，首先看到了函数：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角α=∠xFP1的函数.图1北中数学网共8页第5页心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cosα=x–c(x是点P1的横坐标).心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系.【解析】设（自变量）∠xFP1=α，于是有∠xFP2=3π2，∠xFP3=3π4.设|FP1|=r1，由图2可得|FM|=r1cosα，由e=21得|P1Q|=2r，于是有（方程）：r1cosα+2r1=12–3=9，从而有（函数）：r=cos29，继而有（方程）：,9cos211r同理有,9)3π2cos(212r,9)3π4cos(213r于是有（函数方程的统一体）：||1||1||1321FPFPFP=.32392)3π4cos()3π2cos(cos392【小结】所谓“函数方程的普遍性”是指，当知识载体——如本题的椭圆载体一旦更换（成了例1的信息加密、例2的数列推递）之后，只要还是关于数集与数集、变量与变量间的“关系问题”，无不是函数方程的领域.显然，函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、带全局性的数学思想.因此，高考中的“函数方程考题”是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题.对应训练1.已知155acb，（a、b、c∈R），则有（）(A)acb42(B)acb42(C)acb42(D)acb42，图2北中数学网共8页第6页2.二项式1031xx的展开式中常数项为（用数字作答）.3.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(Ⅰ)求tanA=2tanB;(Ⅱ)设AB=3，求AB边上的高.对应答案1.解析法一：依题设有a·5－b·5＋c＝0∴5是实系数一元二次方程02cbxax的一个实根；∴△＝acb42≥0∴acb42故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：22210255cacab≥10ac＋2·5a·c＝20ac，∴acb42故选(B)点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成.2.本题考查二项展开式的通项公式和幂运算.解题的切入点是正确写出通项公式，并正确化简.根据二项展开式的通项公式Tr+1=Crrnrnba得Tr+1=Cr10rrxx1)(103=Crrrnxx2110311)1()(=Crrrrxx)()1(2131010C2131010)1(xxrrr=(-1)rC652010rrx要使Tr+1为常数项，只需(-1)rC652010rrx中x的指数为0，即6520r=0，解得r=4,代回通项公式，得常数项为（-1）4C.210410北中数学网共8页第7页在解答过程中正确运用二项展开式得通项公式是解题的关键，而通过方程6520r=0得出r=4，则可得到常数项在展开式中的位置，进而求出常数项.3.分析本题是一个三角函数的证明与计算问题.分析题目后发现,已知条件比较复杂,因此首要的任务是变换已知条件,使之出现含有sinA,cosA,sinB,cosB的解析式.解析由已知两个等式,得sinAcosB+cosAsinB=53,sinAcosB-cosAsinB=51.研究这两个等式发现,左侧的两个解析式只相差一个符号.实际上,可把sinAcosB看成一个未知数,把cosAsinB看成另一个未知数,于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组,解这个方程组便可求出sinAcosB=.51sincos52BA，到此便可以完成第(Ⅰ)问的证明,将上两式左右两边分别相除,便可得到tanAcotB=2,即tanA=2tanB.在第(Ⅱ)问中,可画出图形帮助我们进行研究,如右图,从图中并借助已知条件