数学技术与概率论的发展

数学技术与概率论的发展摘要:概率论是研究随机现象规律的数学理论，现已有300余年的历史。从数学技术视角，把概率论的发展历史划分为三个阶段，并分析各个时期的特征，认为数学技术是概率论发展的保证，数学技术的发展是推动概率论理论发展的主要因素之一；探究数学技术和概率论间的辩证关系有助于理解和认识概率论的本质。关键词:数学技术；古典概率论；分析概率论；测度概率论一、概率论的创立和组合方法具有概率性质的最初问题，源于人类生活的各个领域，后逐渐具体化为概率论的概念和方法。保险公司收集的数据成为概率论初期所利用的原始材料。统计资料促进了概率论基本概念的形成。17世纪荷兰、西班牙、法国、英国、德国出现了各种参考手册，上面记载着教区居民结婚、参加洗礼、举行葬礼的登记数，后来还增加记录了出生、死亡人口的性别及死亡原因等数据。基于这些统计资料出现了一些概念，比如在某一阶段死亡的可能性，能活到某一年龄的机会等等。因此，在各个历史时期里，不同程度地进行着收集、分析统计数据的活动，直到资本主义的出现，系统而足够广泛的统计研究才开始。那时贸易和货币交易，尤其是和保险有关的业务正迅速发展，而且各种新机构相继建立。因此，统计是推动概率论早期发展的一个基本因素。数学观测理论刺激了概率论的发展。文艺复兴时期自然科学迅猛发展，观测和实验的重要性也日益增加。处理观测结果的方法，特别是估计观测中出现的误差，成为数学家研究的课题。哲学思想影响了概率论的早期发展。偶然性和必然性之间的相互关系，规律和因果关系等问题都是古代研究的对象，长期以来列在哲学家的研究议程。只有概率的估计出现在人类活动的各个领域，且数学技术达到一定先进程度时，概率论方能出现。1494年，意大利数学家帕乔利(LucaPacioli,约1445-1517)在其所著《算术、几何、比与比例集成》一书中提出，两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢。现在一个人赢了a局(as)，另一个人赢了b局(bs)，如果赌博提前中断，该如何在两赌徒间分配赌金？这就是著名的“点数问题”。该问题被反复地、详细地探讨了二百年之久，最终由帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)和费马(P.deFermat,1601-1665)解决。1654年左右,赌徒梅雷(A.G.C.deMere,1610-1685)向帕斯卡请教“点数问题”，于是帕斯卡和费马在通信中讨论了“点数问题”、“骰子问题”等问题。他们共通信七封，概率史家把第三封信作为概率论诞生的日子，因在这封帕斯卡写给费马的信中，圆满地解决了“点数问题”。帕斯卡和费马把赌博问题转变成数学问题，用数学演绎法和排列组合理论得出正确解答。这项研究为概率的数学模型——概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结直至1933年才由柯尔莫戈罗夫(A.N.Kolmogorov,1903-1987)做出。一般概率空间的概念，是对概率的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇，但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。帕斯卡和费马的贡献便在于此。帕斯卡与费马的通信直至1679年才完全公布于世，故从某种意义讲，惠更斯(ChristianHuygens,1629-1695)的论著《论赌博中的计算》(1657年)标志着概率论的诞生。该书是第一部概率论著作，第一次对以前的概率论知识系统化、公式化和一般化。作为概率论的标准教材，该书在欧洲多次再版。与前两位数学大师相比，惠更斯略逊一筹。虽然在其解题过程中，没有推广到更一般情形，更没有从中发现无穷级数，但他预见到这一新的推理和计算方法具有强大的生命力。“我相信，只要仔细研究这个课题，就会发现它不仅与游戏有关，而且蕴含着有趣而深刻的推理原则。”《论赌博的计算》写作方式很像一篇现代的概率论论文。先从关于公平赌博值的一条公理出发，推导出有关数学期望的三个基本定理，利用这些定理和递推公式，解决了点子问题及其他一些博弈问题，最后提出5个问题留给读者解答，并仅给出其中的3个答案。人们通常所谓的惠更斯的14个命题，指的就是书中的3条定理加上11个问题。正是对《论赌博的计算》的解释和推广，才逐步形成了概率论的理论体系。二、古典概率论和代数分析方法无穷概念进入数学是近代数学诞生的标志之一，它使建立在几何和算术上的数学技术产生了飞跃，不仅扩大了数学的应用范围，还向理论研究提出了一系列新课题。这就带来了概率论的发展，研究对象由有限样本空间扩展到无限样本空间。概率论发展初期，讨论的赌博问题属于古典概型，即随机试验只有有限个基本事件，且每个基本事件的概率相等。若随机试验重复实现，如掷一枚骰子n次，那么出现m次6点的概率是多少呢？其计算方法是设某事件E在一次试验中出现的概率为p，则不出现的概率为1-P，则n次试验中出现m次事件E的概率为，其中=n!/m!(n-m)!，当n趋于无穷大时，概率的计算是相当麻烦的，且若不知事件在一次试验中的概率，就无法用所述公式计算n次试验中事件出现的概率。这就需要找一种新的方法。任何人都能观察到在大量重复同一试验时，某事件出现的频率会越来越稳定于某数值，这就是大数定理的思想所在。真正使概率论成为一门独立数学分支的奠基人是雅可布伯努利(JacobBernoulli,1654-1705)。在《猜度术》(1713)中，他给出了“伯努利大数定理”:在伯努利概型中，对任意给定的e0，当n趋于无穷时，有即随着试验次数的增加，某事件出现的频率会集中在该事件的概率附近。由于当时的数学技术还不够先进，伯努利仅是应用代数分析方法给出其不精确的证明。伯努利大数定理从理论上刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。伯努利为这个发现而自豪：“这个问题我压了20年没有发表，现在我打算把它公诸于世了。它又难又新奇，但它有极大用处，以至在这门学问的所有其他分支中都有其高度价值和位置。”伯努利定理作为大数定理的最早形式，在概率论发展史上占有重要地位，因此，1913年12月圣彼得堡科学院举行庆祝大会，纪念大数定理诞生200周年。《猜度术》标志着概率概念漫长形成过程的终结与数学概率论的肇始，该书鼓舞了一些学者转向这门诱人的学科。棣莫弗(A.DeMoivre,1667-1754)、蒲丰(G.L.L.Buffon,1707-1788)、拉普拉斯(P.S.M.deLaplace,1749-1827)、泊松(S.D.Poisson,1781-1840)、高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)等对概率论做出了进一步的奠基性贡献。棣莫弗在1718年把《抽签的计算》修改扩充为《机会论》，其中首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，讨论了“赌徒输光”、“点数问题”等掷骰子问题。然而，棣莫弗考虑到游戏者具有不同技巧的情况(例如，A要4点就获胜，B要6点获胜，A赢得一点的机会与B赢得一点的机会之比等于3比2)，也考虑到有三个游戏者参加的情况，尤其是导出的关于n!的渐近公式：并以此证明了概率为1/2时的二项分布收敛于正态分布的棣莫弗-拉普拉斯定理。突破有限个等可能事件的限制，把等可能思想应用于无穷多个事件的情形，就产生了几何概率。蒲丰于1777年发表的《或然性试验》，首先提出并解决了现在著名的“蒲丰投针问题”(用现代术语)：长为l的针“随机地”投到相距为d的一组平行线上(dl)，求针与平行线相交的概率是多少？设x为针的中点与离它最近的一条平行线的距离，U为针与此平行线所成的锐角。(x，U)完全决定针所落的位置，它们分别在(0,d/2)和(0,/2)上均匀分布，这样可得所求概率为。蒲丰对问题的解答暗含着概率假定包含了现在对“随机地”这一短语的正确认识。后许多数学家把该问题推广到投掷小薄圆片或投入到被分为若干个小正方形的矩形域中或连续曲线上。这些问题都被称为“蒲丰问题”，研究的是具有“等可能性”的事件，而其试验结果为无限个。如果重复n次投针，设m为针与直线相交的次数，则当n很大时，相交的频率m/n近似等于上面的概率，则可利用投针问题的结果来计算P的近似值，而当时人们普遍关注P的近似计算，因此,投针问题特别受到重视，成为几何概率的典型例子。随后的几十年里几何概率分别在英国和法国获得独立发展。1809年,高斯从误差函数角度，再次发现了正态分布，以致19世纪的数理统计学成为正态分布的统治时代。这一时期提出了许多经典问题和重要概率思想，但还未系统化，概率论只是一些有趣而特殊的问题的堆砌，其数学技术主要以代数分析方法、组合方法为主,以无穷级数、无穷连分数和差分方程等来求解相应概率问题。三、分析概率论和数学分析方法自牛顿(I.Newton,1643-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)创立微积分以来，18世纪的数学家对这一领域进行了深入的研究并取得了光辉的成就。随着数学分析的蓬勃发展，微分方程、特征函数、反演公式、母函数和积分等分析工具逐步成为研究概率论的数学技术，其标志性著作是拉普拉斯于1812年出版的《分析概率论》。《分析概率论》开创了概率论发展的新阶段，实现了概率论研究由组合技巧向分析方法的过渡。该书明确地给出了概率的古典定义(事件的概率等于有利于事件的结果数与所有可能的结果数之比)；独立事件的加法、乘法法则；推广了伯努利在大数定理方面的工作；导出了二项分布渐近于正态分布的中心极限定理。极限定理在概率论中占据很重要的地位。现实中影响事件结果的随机因素很多，虽每一个因素对结果的影响都不大，若把这些因素综合起来就会有明显的作用，因而需要研究这些随机变量的和。中心极限定理就是随机变量的和渐近于正态分布的规律性，它可把许多无法了解或了解得很少的随机事件的概率分布归结为已知的正态分布，则可对知之甚少的事物作进一步的研究。拉普拉斯应用极限定理解释了某一国家注册结婚数目的稳定性死信数目的稳定值，解决了和年金有关的问题。拉普拉斯所提出的某些问题预示着概率论的新分支或新定理。A，B两个坛子里各有n个球，其中有n个白球，n个黑球，每个坛子有n个球。把这些球一个接一个地从一个坛子到另一个坛子循环移动，那么移动完r圈之后,坛子A有x个白球的概率是多少？这个问题和著名的Ehrenfest模型是一致的，被看作是随机过程的起源。拉普拉斯在人口统计、养老金、估计寿命、审判调查等方面广泛地应用了概率论。在《概率的哲学导论》中他提出观点：概率论终将成为人类知识中最主要的组成部分，因人类生活中最重要的问题绝大部分是概率问题。今天概率论的发展已经证实了拉普拉斯的预言。泊松从法庭审判问题来研究概率论。在1837年的论文《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》中，他继续研究拉普拉斯曾考虑的问题，并提出了描述随机变量的泊松分布。泊松认识到了大数定理的重要性。他认为，大数定理的本质在于大量随机变量的算术平均值与它们的期望近似相等。虽然拉普拉斯、高斯已使用了随机变量的概念，但常常与观测误差理论的问题有关。泊松第一个尝试把该概念与这些问题相分离，他把随机变量看作与所有自然科学的一般概念同等重要。他提到以相应的概率分别取值a1,a2,⋯,aK的“任意事物”，这其实和现代离散随机变量概念相一致。在《论观测的平均结果的概率》中，他也尝试用同样的方法考虑连续随机变量及其分布函数。但他的随机变量理论，本质上并没有与他的前辈或同代人所掌握的知识有何不同。狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805-1859)在概率论历史上很少被提及，可能是在其著作中极少的概率论注记不值得研究，但他对概率论的研究体现了当时用分析方法来研究概率论的特点。1829-1850年间，狄利克雷在柏林讲授概率论课程,其内容包括误差理论和最小二乘法。狄利克雷对概率问题的兴趣与其说源自在应用上的重要性，不如说是其解析特征。对他而言，概率论首先是积分的应用，因为它有助于“最终结果的表示”，尤其是有助于处理“大量事件”，因此他把概率论放在定积分课程里讲授。他所讨论概率问题的方式从某种程度上表明了从古典概率论转向分析概率论的趋势。狄利克雷和俄罗