数学探究性教学的基本类型及其教学实践

1数学探究性教学的基本类型及其教学实践吴国建科学的本质是探索未知，科学的发现来自于探究过程.数学教学作为科学发现在教学上的一种特殊形式正越来越多地被提倡运用探究性教学.所谓探究性教学是指教师在课堂中巧妙地组织教学，引导学生自主地参与教学、获取知识，促使学生加深对知识的体验，帮助学生逐步形成研究科学的积极态度，掌握研究科学的基本方法，提高研究科学所必须的探究能力.Westbook.S.L.&Rogers.L.N.(1994)等人通过对探究学习的作用以及如何进行探究性教学等进行深入的研究，发现进行探究性教学不仅可以提高学生的认知水平，而且有助于学生理解和掌握科学的方法，培养科学的态度.数学，从本质上讲，是整个现代科学的一种文化的精神或理性的基础的构成成分.虽然被称之为科学，但其含义与一般理解的探索客观世界物质运动机理的科学(如物理、化学等)是迥然不同的，数学科学从本质而言，不能理解为与众多科学中并列的一门学科.因此，数学探究性教学也应当区别于物理、化学等的实验探究为主而更为重视数学知识的形成过程、规律及其应用的探究.本文拟结合笔者的教学实践从教学内容的组织与选择阐述数学探究性教学的几种基本类型.1.对知识形成过程的探究建构主义教学理论指出，数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程.数学知识不能从一个人迁移到另外一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流通过反省来主动建构.这就是说教师所教的数学，必须经过学生的主体感知、消化、改造，使之适合他们自己的数学结构，才能被理解掌握.这就意味着，作为数学探究性教学必须在课堂中充分暴露教师的思维过程，充分展现知识的形成过程，让学生在两种过程的认同与体验中建构知识.［例1］点到直线的距离公式探究《解析几何》教材40页“点到直线的距离”一节内容是该章的一个重点，也是难点之一.教材开门见山地提出了已知点P(x0，y0)和直线l:Ax+By+C=0怎样求点P到直线l的距离的问题，然后进行分析和求证.虽然所要传授的知识与方法直接了当，一目了然，但是这样的编排并不符合学生建构知识的心理顺序.在课堂教学中，我们可以通过如下处理，将教材内容重组成探究问题系列：问题1已知l1∥l2且l1:y=kx+b1，l2:y=kx+b2，求l1、l2的距离d.利用图形，求得图2—27d=|RQ|·|cosα|=2211||kbbd=|RQ|·|cosθ|=|RQ|·|cos(π－α)|=2211||kbb.问题2如何将两平行线之间的距离公式转化为点到直线的距离公式.(根据平行线之间的距离处处相等，在l1任取一点P(x0，y0)，y0=kx0+b1b1=y0－kx0代入公式得d=22001||kbkxy)问题3已知点P(x0，y0)直线y=kx+b，求点P到l的距离.2(d=22001||kbkxy，将b2改为b即可)问题4已知点P(x0，y0)，直线l:Ax+By+C=0，求点P到l的距离.(令k=－BA、b=－BC代入公式整理即得d=220||BACByAx最后补充说明以上结论当B=0时公式同样成立)2.对学生未知数学规律的探究规律的探索过程起到将知识之间建立联系，打通思维通道的作用.数学探究性教学选择组织的内容，虽然早已被科学家们所论证和应用，但是对学生而言，应当是新的内容，尤其是一些一般性数学规律的探究，可以使原来一些知识点串联成线状网状，从而优化学生当前已有的知识结构.在一般性规律的探究中，教师一定要启发学生通过对比、归纳、分析等方法独立完成，探究的过程既进行了思维训练又进行了辩证唯物主义普遍联系观的教育，真正实现了数学作为文化的育人功能.［例2］对称问题的探究对称问题是数学中最能体现其美育功能的内容之一，对称问题的研究不仅有助于提高学生分析问题解决问题的能力，而且有助于更好地培养学生形成健康的审美观，树立正确的世界观，这样的内容我们在平时教学中应予以足够重视.但是，教材中对称问题的叙述是极其零碎、离散的，这就要求我们在教学中引导学生在不同类型对称问题解决的经验之上，从教材点点滴滴的分布中探究归纳出一般性的对称规律，并能运用规律性的结论解决相关问题.具体而言，对称问题的教学可以通过探究以下一系列问题而完成.问题1试结合图象求出点P(x0，y0)关于原点、x轴、y轴、直线y=x、直线y=－x的对称点的坐标.归纳：对称问题分为二类：一是关于点的对称，称为中心对称；二是关于直线的对称，称为轴对称.问题2求点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点P′(x，y)的坐标.归纳：点关于点的对称问题可以通过中点坐标公式求得:0022ybyxax问题3已知曲线C:f(x，y)=0，求曲线C关于点A(a，b)的对称曲线C′的方程.分析：设P(x0，y0)为曲线C′上任意一点，它关于点A(a，b)的对称点为P′(x，y)则有ybyxax2200，而P′(x0，y0)在曲线C上，故有f(x0，y0)=0即f(2a－x，2b－y)=0即为C′的方程.特殊地，当a=b=0时f(x，y)=0关于原点的对称曲线为f(－x，－y)=0.归纳：曲线关于点的对称问题可以转化为曲线上的任意一点关于点的对称问题来解决.解题流程图如下：图2—28问题4已知点P(x0，y0)，直线l:Ax+By+C=0，求点P关于l的对称点P′(x，y)的坐标.分析：P、P′关于直线l对称满足下列条件(1)直线PP′与l垂直.(2)P、P′的中点在l上.即P′(x，y)坐标满足30221)(0000CyyBxxABAxxyy由此可解出x，y.归纳：点与点关于直线的对称问题的求解可抓住“中、垂”二字来列式求解：(1)中(中点)，指中点坐标公式代入；(2)垂(垂直)，指斜率之积为－1.问题5已知曲线C：f(x，y)=0，直线Ax+By+C=0，求曲线C关于l的对称曲线C′的方程.分析：设P(x，y)为C′任意一点，P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)由上述(4)的方法解出x0，y0，而P′(x0，y0)在曲线C上，故f(x0，y0)=0即得到曲线C′的方程.归纳：曲线关于直线的对称问题和曲线关于点的对称问题类似，可以转化为曲线上任意一点关于直线的对称问题来解决，解题流程图如下：图2—293.已知数学知识与规律的应用探究作为数学的首要功能之一，应用既是知识的温习和巩固过程，又是知识的创新过程和认识的飞跃过程，是思维中的最积极活跃的过程.因此，这一过程的探究应当作为数学探究性教学的重点.在教学中，一定要改变过去从教师那里学习如何应用的被动方式，变为教师设计问题或学生在实践中归纳出主题，并从实践中提出自己的观点，总结出新方法的主要学习过程.教师典型引路，指出研究方向，学生通过查阅文献、讨论、思考和归纳，写出研究小论文并采用多种形式公开交流，互相借鉴.［例3］分比21PP在数学解题中的应用探究点P分P1P2所成的比λ的有关内容的教学是在解析几何第一章完成的，解析几何教材中涉及到的有关λ的应用篇幅非常有限，但是分比λ的用途十分广泛，如何巧妙利用λ来解题是一个值得深入探究的问题.在高三的复习教学中，笔者曾要求任教班级学生去查阅有关文献，探究归纳λ在数学学科内的解题应用，允许学生相互合作，共同完成.结果，在全班学生的努力下，挖掘出了λ的许多巧妙应用.以下是利用λ来解代数题的几个应用举例.应用一求函数的值域例求函数y=xxsin22sin的值域.解：设－2、sinx、2分别是P1、P、P2在数轴上的坐标，则y=21sin22sinPPPPxx=λ.因－1≤sinx≤1结合数轴可知当|P1P|在13变化时|PP2|相应的在31变化.所以λ∈［31，3］即x∈［31，3］4应用二解不等式例解不等式log0.5(x2－2x－15)＞log0.5(x+13).解：原不等式等价于0＜x2－2x＜15＜x+13设0、x2－2x－15、x+13分别为P1、P、P2在数轴上的坐标，λ=21PPPP则P内分21PP，所以λ＞0而λ=)4)(7()3)(5()152(1301522221xxxxxxxxxPPPP＞0.画数轴得，原不等式的解集为{x|－4＜x＜－3或5＜x＜7}.应用三证明不等式例关于x的二次方程x2+ax+b=0有两个实根α、β，其中a、b∈R，证明(1)如果|α|＜2、|β|＜2，求证：2|a|＜4+b且|b|＜4.(2)如果2|a|＜4+b、|b|＜4，求证：|α|＜2，|β|＜2.证明：由韦达定理α+β=－a，α·β=b设数－4－b、2a、4+b分别是P1、P、P2在数轴上的坐标(1)要证2|a|＜4+b只需证－4－a＜2a＜4+b即只需证P是P1P2的内分点，而λ=21PPPP)2)(2()2)(2()(244)(22442abba＞0(因为|α|＜2，|β|＜2)显然|b|=|α||β|＜4.(2)当|2a|＜4+b时，即－4－b＜2a＜4+b知P是P1、P2的内分点，则λ=21PPPP＞0仿(1)可知)2)(2()2)(2(＞0即(2－α)(2－β)(2+α)(2+β)＞0所以(4－α2)(4－β2)＞0.因此有α2＜4，β2＜4(若α2＞4，β2＞4则与|α·β|=|b|＜4矛盾)即|α|＜2，|β|＜2.4.跨学科的综合应用探究华罗庚先生曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面无不有数学的贡献.21世纪是交叉学科边缘学科兴起并蓬勃发展、学科相互渗透、互相结合的整体发展时代，培养学生的融合意识和知识的整合能力，是中学数学教学的重要使命.在数学探究性教学过程中，教师必须放手让学生利用自己的知识储备和各种信息，自己悟出数学与其他学科的联系，从而达到促进智育发展，提高学习研究能力的目的.［例4］函数与方程思想在物理学中的应用探究.函数是数学最基本的概念，函数与方程思想贯穿着整个中学数学教育教学的全过程，函数与方程思想在其他科学领域的应用十分具体而广泛.加强函数与方程思想在其他科学领域的教学，将大大拓宽学生对函数与方程思想认识的视野，不断5加深学生对函数与方程思想的体验，从而更有利于对数学知识的主动建构.以下是两个函数与方程思想在物理学中的应用范围：应用一气态方程问题一定质量的理想气体，从状态A沿直线AB变化到B状态，如图2—30所示，已知在状态A时气体温度为27°，试求此变化过程中气体温度的最高值为多少？解法一用一次函数求解设气体在某一状态C时的温度、压强和体积分别为T、p和V，则图中直线AB为一次函数p=－V+4的图象，故得pV=(4－V)V=－(V－2)2+4即当V=2时乘积pV有最大值4.以此代入气态方程TpVTVpAAA可解得此过程中气体最高温度为Tmax=400K即t=127℃.解法二用二次函数配方法求解依据气态方程得TpVTVpAAA代入数值有T=100V2+400V=400－(10V－20)2可知当10V－20=0即V=2时气体的最高温度Tmax=400K.解法三用二次方程判别式求解考虑T=－100V2+400VΔ=b2－4ac=4002－400T≥0，T≤400故Tmax=400K.应用二电路问题电阻连结成图示的电路，放在一个箱子中(虚框所示)箱面上有三个连接柱A、B、C的测量，确定各个电阻的阻值.要求写出实验步骤并用所测值表示电阻R1、R2、R3.解：实验步骤如下：(1)测出A、B两点间的电阻值x.(2)测出B、C两点间的电阻值y.(3)测出A、C两点间的电阻值z.则有321111RRRx①312111RRRy②213111RRRz③令3322111,1,1DRDRDR，可得323211DDDDDx即：D2+D3=(D1D2+D2D3+D3D1)x④212131DDDDDy即D1+D2=(D1D2+D2D3+D3D1)y⑤1