数学方法分析之小学奥数第十八讲图解法

第十八讲图解法图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。（一）示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。例1妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。谁剩下的苹果多？多几个？（适于四年级程度）解：作图18-1。哥哥吃了8个后，剩下苹果：10-8=2（个）弟弟吃了5个后，剩下苹果：10-5=5（个）弟弟剩下的苹果比哥哥的多：5-2=3（个）答：弟弟剩下的苹果多，比哥哥的多3个。例2一桶煤油，倒出40％，还剩18升。这桶煤油原来是多少升？（适于六年级程度）解：作图18-2。从图中可看出，倒出40％后，还剩：1-40％=60％这60％是18升所对应的百分率，所以这桶油原来的升数是：18÷60％=30（升）答略。例3把2米长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.8米，同时量得电线杆的影长是5.4米。这根电线杆地面以上部分高多少米？（适于六年级程度）解：根据题意画出如图18-3（见下页）的示意图。同一时间，杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是x米，得：1.8∶5.4=2∶x答略。（二）线段图线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。例1王明有15块糖，李平的糖是王明的3倍。问李平的糖比王明的糖多多少块？（适于三年级程度）解：作图18-4（见下页）。从图18-4可看出，把王明的15块糖看作1份数，那么李平的糖就是3份数。李平比王明多的份数是：3-1=2（份）李平的糖比王明的糖多：15×2=30（块）综合算式：15×（3-1）=15×2=30（块）答略。例2托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。问托尔斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（适于四年级程度）解：作图18-5。从图18-5可看出，他在20世纪度过的时间是：（82-62）÷2＝20÷2=10（年）由此看出，他死于1910年。他出生的时间是：1910-82=1828（年）答略。解：作图18-6。综合算式：答略。（三）思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。例题参见前面的分析法和综合法。（四）正方形图借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量，使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。例1农民张成良，把自己承包的土地的一半种了玉承包了多少公顷土地？（适于四年级程度）解：根据题意作图18-7。所以，他承包的土地是：2×8=16（公顷）答略。例2有大小两个正方形，其中大正方形的边长比小正方形的边长多4厘米，面积比小正方形的面积大96平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？（适于六年级程度）解：求大、小正方形的面积，应知道大、小正方形的边长，但题中没有说，也不好直接求出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。根据题意作图18-8。图中大正方形ABCD的面积比小正方形的面积大96平方厘米。这96平方厘米的面积是由两个长方形a及比长方形还小的正方形c构成。从96平方厘米减去正方形c的面积，再除以2就可求出长方形a的面积。（96-4×4）÷2=40（平方厘米）因为长方形a的宽是4厘米，所以长方形a的长是：40÷4=10（厘米）因为10厘米也是小正方形的边长，所以小正方形的面积是：10×10=100（平方厘米）大正方形的边长是：4+10=14（厘米）大正方形的面积是：14×14=196（平方厘米）答略。（五）长方形图借助长方形图解应用题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一种数量，以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。*例1甲、乙两名工人做机器零件，每天甲比乙多做10个。现在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500个零件。问甲、乙两人每天各做多少个零件？（适于五年级程度）解：根据题意作图18-9（见下页）。图18-9中，以左边长方形的长表示甲工作15天，以左边长方形的宽表示甲每天做多少个；以右边长方形的长表示乙工作12天，以右边长方形的宽表示乙每天做多少个。图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做10个，所以，乙在12天中比甲少做零件：10×12=120（个）图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件1500个。从图18-9可以看出，整个大长方形面积所表示的零件的个数是：1500+120=1620（个）这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数：15+12=27（天）因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数，所以甲每天做零件的个数是：1620÷27=60（个）乙每天做零件的个数是：60-10=50（个）答略。*例2某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共25筐，其中鸭梨的筐数是桔子筐数的2倍。苹果每筐卖90元，鸭梨每筐卖72元，桔子每筐卖60元，共卖得1854元。问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐？（适于六年级程度）解：根据题意作图18-10。图18-10中阴影部分表示，如果25筐都是苹果，则所造成的差价是：90×25-1854=396（元）每卖出1筐桔子、2筐鸭梨、3筐苹果的差价是：（90-72）×2+（90-60）=36+30=66（元）因此，桔子的筐数是：396÷66=6（筐）鸭梨的筐数是：6×2=12（筐）苹果的筐数是：25-6-12=7（筐）答略。（六）条形图条形图是把长方形的长画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。条形图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的，也可以画成横的。题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形内，也可写在长方形外面。条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。吨后，两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨？（适于六年级程度）解：作图18-11。从图中可看出，从875吨中减去75吨后，甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的3倍，两个煤场所存煤共分为4份。其中一份是：（875-75）÷（3+1）＝800÷4=200（吨）乙煤场原来的存煤吨数是：200+75=275（吨）甲煤场原来存煤的吨数是：200×3=600（吨）答略。解：作图18-12。但是，实际上是运出125吨。这140吨比实际运出的多：140-125=15（吨）所以15吨所对应的分率是：甲库原来的存粮吨数是：420-180=240（吨）答略。*例3一组割草人要把大、小两块草地的草割掉，其中大块草地的面积是小块草地面积的2倍。全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍停留在大块草地上割，另一半到小块草地上割。到傍晚时，大块草地的草全部割完，而小块草地还剩下一小块。这剩下的一小块，第二天一个人用一天的时间就割完了。这组割草的一共有多少人？（适于六年级程度）全体组员割一个上午后，一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完，这就是说，要是用一半的组员单独割大块草地的草，就要用3个半天，而在这剩下的一小块是大块草地的：这就是说，6个人一天可以把大块草地割完，一个人一天割大块地的答略。（七）圆形图借助圆形图解应用题，是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标上数字、符号，从而达到便于分析数量关系的目的。例1甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑7米，经过20秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。（适于五年级程度）解：作图18-14。从图中可看出，甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和×相遇时间=相遇路程”，可求出环形跑道的周长：（7+8）×20=300（米）答略。问这块土地有多少公倾？（适于六年级程度）解：作图18-15。从图中可看出，第二天耕完这块土地的：例3有三堆棋子，这三堆棋子所含棋子的个数一样多，且都只有黑、白两色棋子。第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多，第棋子的几分之几？（适于六年级程度）解：作图18-16。从图中可看出，把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换，则第一堆全是白子，第二堆全是黑子。因为第一堆与第二堆的棋子数相同，所以第一堆的白子数与第二堆的黑所以，白子占全部棋子的：*例4甲、乙两人同时从环形路的同一点出发，同向环行。甲每分钟走70米，乙每分钟走46米。环形路的长是300米。他们出发后，在1小时20分里相会几次？到1小时20分时两人的最近距离是多少米？（适于五年级程度）解：作图18-17。甲、乙二人1分钟的速度差是：70-46=24（米）由二人出发到第一次相会所需的时间是：300÷24=12.5（分）1小时20分钟即为80分钟。80分钟内包含几个12.5分钟，二人即相会几次。80分钟内包括6个12.5分钟，还多5分钟，即二人相会6次。由于第六次相会后还走5分钟，所以甲乙之间相隔：24×5=120（米）此时，甲、乙之间还有一个距离是：300-120=180（米）180＞120米答：在1小时20分钟里两人相会6次；到1小时20分钟时，两人的最近距离是120米。（八）染色图在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解题的图形叫染色图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。*例1图18-18是某湖泊的平面图，图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸边A点到B点至少要趟几次水？B点是在水中还是在岸上？（适于高年级程度）解：这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已知条件，将湖面染上色，湖岸部分就显示出来了，答案也就一目了然了（图18-19）。答：他至少要趟3次水才能达到B处，B点在湖岸上。*例2如图18-20，某展览馆有36个展室，每两个相邻展室之间均有门相通。问你能否从图中入口进去，不重复地参观完每个展室后，再从出口处出来？（适于高年级程度）解：作图18-21。把图中36个方格相间地染上黑色。因入口处是白格，参观时若依顺序将展室编号，那么进入第奇数号展室时，应是白格位置；进第偶数号展室应是黑格。即应按白→黑→白→黑→……顺序交替参观。参观者最后离开的是第36号展室，它是偶数，按上面的分析它应是黑格，但图中实际为白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。答略。*例3将图18-22矩形ABCD的一边AD分成6小段，其中线段1+线段3+线段5=线段2+线段4+线段6。连结对角线BD，用红（图中用横线表示）、蓝（图中用坚线表示）两色将图形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积哪个大？（适于高年级程度）解：此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果，但较麻烦。用染色的方法解此题比较简捷。先将图中BD线左下面的空白处染上黑色，用S红、S蓝、S黑分别表示染红、蓝、黑三种颜色图形的面积（图18-23）。从图18-23很容易看到：另外，S蓝+S黑等于3个小矩形面积的和，而它恰好等于矩形ABCD面积的一半，即：这就是说：S红+S黑=S蓝+S黑从上面算式的两边同时减去S黑，得：S红=S蓝答：图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。*例4图18-24的图形是从4×4的正方形纸上剪去两个1×1的小方纸片后得到的。它们的面积都是14。若把它们剪成1×2的小矩形，最多能剪几个？为什么？（适于高年级程度）解：图18-24的三个图形除了（1）可以剪出7个1×2的小矩形外，（2）、（3）不管怎么剪，至多都只能剪出6个来。原因是：分别用黑白两色对图形（1）、（2）、（3）相间地涂色（图18-25）。从它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成，这两个小方格上涂有不同的颜色，如图18-25中（4）。既然每个1×2的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成（因为三个图形的面积都是14