数学模型A卷参考答案

《数学模型》A卷参考答案及评分标准一、简答题（每题5分，共20分）1、什么是数学建模？（5分）答：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构的过程。2、什么是马尔萨斯人口指数增长模型？（5分）答：马尔萨斯人口指数增长模型是马尔萨斯调查多年人口资料，得出人口增长指数不变的的假设，建立的人口指数增长模型，表达式如下：xrdtdx，0)0(xx3、数学模型有哪些主要特点？（5分）答：模型的逼真性和可行性、模型的渐进性、模型的强健性、模型的可转移性、模型的非预制性、模型的条理性、模型的技艺性、模型的局限性。4、数学模型按其表现特性有几种分法？（5分）答：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、离散模型和连续模型、线性模型和非线性模型。二、某学校共200名学生，分A、B，C三个系，各有103，63，34人，现组织一个校学生会共21个代表席位，请试用较公平的方法为三个系分配学生会代表席位。（20分）解：先按照比例计算结果将整数部分的19席分配完毕有：3,6,10321nnn然后用Q值法分配第20席和21席。（5分）第20席：计算,3.96,5.94,4.96433437663211101031222QQQ1Q最大，于是这一席位应分给甲系。（10分）第21席：计算,3.96,5.94,4.40433437663212111031222QQQ3Q最大，于是这一席位应分给丙系。这样21个席位的分配结果是三系分别占有：11，6，4席。（5分）三、融雪时间（20分）一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为)0(kk.假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为0h的雪堆在开始融化的1小时内，融化了其体积的6437.试求雪堆全部融化需要的时间。答：如图.假设雪在融化过程中始终为顶角为900的圆锥体.其高为)(th，底面半径为)(tr.（)(th、)(tr均为时间t的函数）.于是)()(trth.在时刻t时，圆锥体积、锥面面积分别为：)(3131)(32thhrtV)(2)()()()(222ththththrltS（1）由假设条件，体积变化的微分方程模型为：003031)0()()(hhhVtksdttdV或（2）再由（1）得：0)0(2)(hhkdttdh（10分）解得：kthth2)(030)2(31)(kthtV45or又由已知条件)0()64371()1(VV.而3031)0(hV,30)2(31)1(khV3030316427)2(31hkhkh240故ktkth224)(.雪堆全部融化0)(th0224ktk得4t（小时）（10分）四、某工厂厂长有权根据产品和销售情况制定某商品的价格。在产销平衡的前提下，设该商品售量（产量）为x，成本为q，售价为p，总收入与总支出为售量的线性函数。求该商品在利润最大时的最优价格。（20分）解：依题意有：总收入为：xpI，总支出为：xqC（5分）由总收入与总支出为售量的线性函数，则有：0,,bapbax（5分）利润U可以表示为：xqxppCpIpU)()()(（5分）代入上式数据有：)()()(pbaqppU要使利润最大，最优价格*p可以由0|*ppdpdU得到，即有：0)*(*)(bqppba于是有最优价格为：baqp22*（5分）五、刹车距离（20分）一辆汽车在司机猛踩刹车制动后6秒钟内停下，在这一刹车过程中，每一秒的速度值被记录了下来.如下表:刹车踩下后的时间（秒）0123456速度（米/秒）30211510630试建立汽车刹车踩下后运行距离的数学模型，并估算出刹车踩下后汽车最少滑过的距离和最多滑过的距离.解：刹车踩下后汽车的运动是一个变速直线运动，设速度函数为)(tvv.现对区间6,0进行分割：ntttt2100.近似代替，求和取极限，并由定积分定义，得06sssiniittvnii1}max{)(lim1dttv60故所求数学模型为:dttvs60（10分）现考虑区间6,0的6等分，并且it=1.由实际意义知,)(tv是区间]6,0[内单调减函数.在每个子区间iitt,1上取右端点it、左端点1it分别得到最小值itv和最大值1itv.再由定积分定义知：米55036101521616161601iiiiiitttvttvdttvdttvsii米8536101521306116116161iiiiiitttvttvdttvdttvsii即：55minS(米),85maxS(米).（10分）