数学模型试卷0712B参考答案评分标准

2007—2008学年第1学期《数学模型》试卷专业班级姓名学号开课系室数学与计算科学学院考试日期2008.1题号一二三四五总分得分阅卷人B卷数学模型试题(0712B)一(20分)、(1)简述数学模型的基本概念和数学模型的表现特征.(2)简述建立数学模型的一般方法，(3)阐述建立数学模型的一般步骤,指出每步要解决的问题.二（20分）、(1)建立酵母培养物的增长的两种离散模型,并讨论其模型的渐进性质.(2)对于一阶非齐次动力系统bran1na,求平衡点并讨论平衡点的稳定性.第一页三（20分）、(1)简述离散优化模型及其分类,建立一般的营养需求(食谱)的优化模型.(2)应用最小二乘法建立形如2bxay的模型拟合如下数据Xi1234Yi1891256第二页四（20分）、(1)建立不允许缺货情况下的包括购买货物本身费用的库存模型并求解。(2)假设购入一辆新卡车的购买价格为9000美元，每辆卡车t年的维护试用（美元）可以解析地表示为如下的经验公式模型：1)t180(t640t)(C,其中t为公司拥有该卡车的年限.（a）确定一辆卡车使用t年的总成本函数)(tE(b)确定一辆卡车使用t年的年平均成本函数)(tEA.(c）画出)(tEA关于t的函数图形，说朋你的图形的合理性.(d)用解析方法确定一辆卡车应该留在车队的最佳周期*t（e）假设我们将*t舍入到最接近的整数年，一般来说向上取整还是向下取整更好些？请说明理由第三页五(20分)每到常规间隔为T的时刻。给病人用一次Q剂量的药物.实验表明血液中的药物浓度满足规律CkedtdC.(a)若在第t=0小时注入第一剂药,证明T小时后，血液中的剩余浓度为)ln(1QekTR.(b)假设用药后药物浓度瞬时上升，证明在用第二剂药物后再过T小时，血液中的剩余浓度为])eln[kT(12-Q2QeR.(c)证明：若每隔T时用剂量为)/(mlmgQ的药物，则剩余浓度的极限值R由下式给出：QekTR1ln（d）假设药物在低于浓度L时无效，高于某个较高浓度H时有害，证明对于药物在血液中的安全有效浓度用药间隔应满足公式)(k1HLeeT,其中k是正常数第四页数学模型试题(0712B)参考答案与评分标准一(20分)、(1)简述数学模型的基本概念和数学模型的表现特征.(2)简述建立数学模型的一般方法，(3)阐述建立数学模型的一般步骤,指出每步要解决的问题.解:数学模型的基本概念:数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型的表现特性：确定性与随机性模型,连续与离散,线性与非线性,静态与动态等建立数学模型的一般步骤:问题识别,模型假设,模型构成,模型求解,模型验证,模型实施,模型维护.要说明每步的主要问题评分标准:数学模型的概念考察对数学模型的本质理解,包含对几个”一”的描述,不需要严格的概念叙述.数学模型的特点重点是特点的简述,对重要特点的分析可简略.模型的分类主要是按特征分类.二（20分）、(1)建立酵母培养物的增长的两种离散模型,并讨论其模型的渐进性质.(2)对于一阶非齐次动力系统bran1na,求平衡点并讨论平衡点的稳定性.解:(1)离散指数模型nnnnnprprppp)1(,p11n,当n时np.离散阻滞增长模型)(p1nnnnnpMkppp,当n时Mpn.(2)当0b1,r时没有平衡点.当1r时,平衡点为)1/(rba,当1||r时,平衡点是稳定的,当1||r时平衡点不稳定.当1r时,)2/()2/(a1nbabn平衡点不稳定.三（20分）、(1)简述离散优化模型及其分类,建立一般的营养需求(食谱)的优化模型.(2)应用最小二乘法建立形如2bxay的模型拟合如下数据Xi1234Yi1891256解:优化模型的三要素:决策变量,目标函数,约束条件.按目标函数多少可分为单目标优化和多目标优化.对单目标优化,按目标函数与约束条件的形态分为线性规划与非线性规划.按决策变量的取值又分为整数规划与0-1规划.如果是多阶段决策又称为动态规划.设n种原料,其价格为),...,2,1(njcj,m种营养需求,其最小需求量为),...,2,1(mibi,第i种原料含第j种营养的量为ija设需要第j种原料的量为jx则模型为),...,2,1(.min11mibxatsxcinjjijnjjj(2)(2)应用最小二乘法建立形如2bxay的模型拟合如下数据Xi1234Yi1891256解:令2xX,则模型为bXay.应用最小二乘法得到方程组,求解得到a=-41.4419,b=17.3256.模型为2x17.3256-41.4419yMatlab求解:x=[1,2,3,4];x2=x.^2;y=x.^4;[c,r]=polyfit(x2,y,1)结果为c=17.3256-41.4419四（20分）、(1)建立不允许缺货情况下的包括购买货物本身费用的库存模型并求解。(2)假设购入一辆新卡车的购买价格为9000美元，每辆卡车t年的维护费用（美元）可以解析地表示为如下的经验公式模型：1)t180(t640t)(C,其中t为公司拥有该卡车的年限.（a）确定一辆卡车使用t年的总成本函数)(tE(b)确定一辆卡车使用t年的年平均成本函数)(tEA.(c）画出)(tEA关于t的函数图形，说朋你的图形的合理性.(d)用解析方法确定一辆卡车应该留在车队的最佳周期*t.（e）假设我们将*t舍入到最接近的整数年，一般来说向上取整还是向下取整更好些？请说明理由解:(1)订货费为d,库存费为s,需求量为r.设订货周期为T,订货量为Q=Tr则平均每天的费用为sTrTTC2d)(由0dTdC,得到rsdT/2(2)解:(a))1(1809640)1(1806409000)(tttttE(b)平均成本为EA(t)=9640/t+180(t+1)(c)图形为24681012141618202000300040005000600070008000900010000f=inline('9640/t+180*(t+1)')fplot(f,[1,20])(d)dEA(t)/dt=-9640/t2+180,t2=9640/180=53.5556,t=7.45.与图形吻合.(e)计算EA(7)=2817,EA(8)=2825,因此取7t,向下取整.五(20分)每到常规间隔为T的时刻。给病人用一次Q剂量的药物.实验表明血液中的药物浓度满足规律CkedtdC.(a)若在第t=0小时注入第一剂药,证明T小时后，血液中的剩余浓度为)ln(1QekTR.(b)假设用药后药物浓度瞬时上升，证明在用第二剂药物后再过T小时，血液中的剩余浓度为])eln[kT(12-Q2QeR.(c)证明：若每隔T时用剂量为)/(mlmgQ的药物，则剩余浓度的极限值R由下式给出：QekTR1ln（d）假设药物在低于浓度L时无效，高于某个较高浓度H时有害，证明对于药物在血液中的安全有效浓度用药间隔应满足公式)(k1HLeeT,其中k是正常数解:(a)QtCcCeDDktekdtdCeke,,,dtdC)(解为)ln()(,)(ktetCkteeQQtC,)ln()(1kTeTCRQkTeQ1-Re(b)第二周期初始条件为)ln(1kTeQQQ,QQQQQekTekTeee2)(1)-ln(et)(1-QktC,)ln()(22KTkTeeTCRQQ)1(22QQRekTee(c)归纳法证明QnQnQQnQnQReekTeeekTeen11)...1()1(因此QQRekTRekTe1ln,1(d)因为HLQReeeQLHLR)(-LekT,,故)(1HLeekT