数学物理方法第13章

第13章第13.1节一、基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如F(x,y,...u,xu,yu,22xu,22yu,...)=0其中u(x,y,...)是未知多元函数xu,yu...为u的偏导数.有时为了书写方便，通常记xuux,yuuy,....22xuuxx,...(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．二阶线性非齐次偏微分方程uxy=2y−x的通解为u(x,y)=xy2-yx221+F(x)+G(y)其中F(x),G(y)是两个独立的任意函数．因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数F(x),G(y)指定为特殊的F(x)=2x4−5,G(y)=2siny，则得到的解u(x,y)=xy2-21x2y+2x4−5+2siny称为方程的特解．n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数．第13.2节一、二阶线性偏微分方程的分类两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为),(),(),(),(),(),()(,22222yxGuyxFxuyxExuyxDyuyxCyxuyxBxuyA（13.2.1）其中A,B,C,D,E,F,G为(x,y)的已知函数．定义A(dy)2−Bdydx+C(dx)2=0(13.2.3)为方程13.2.1的特征方程它所对应的积分曲线族称为特征曲线族在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情况讨论判别式∆=B2−4AC1.双曲型偏微分方程当判别式∆=B2−4AC0时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解φ(x,y)=C1及ψ(x,y)=C2也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：),(),(),(),(1112GuFuEuDu(13.2.4)此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式或者进一步作变换α=ξ+,β=ξ−η偏微分方程(13.2.4)变为：),(),(),(),(11112222GuFuEuDuu此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式Utt=a2uxx+f(x,t)波动方程即为双曲型偏微分方程例题13.2.1原方程为02222yuyxu(Y0)在y0的区域中，其判别式∆=B2−4AC=0-4y0,所以方程为双曲型。其特征方程为(dy)2+y(dx)2=0即：yxy该微分方程的解为x+2y=常数C1,x-2y=常数C2是两族函数曲线。若令yxyx22或令uyuyyuuuxuyyxyyxyx111111)(161)(212)(21)2(12322222222222222uuyuuuyyuuuuxu带入原方程得)(2)(2142uuuuyu所以原偏微分方程化简为下列标准形式)()(212uuu补充例题：试将方程0222222yuxxuy化为标准方程。解：△=0-y2(-x)2=x2y20(0x,0y)当(0x,0y)时，方程为双曲型的，其特征方程为0)(222xdydxyyxdxdyyxdxdy积分，得到两组积分曲线12212221212121CxyCxy做变换uuuxyxy)(2)(221212121222222222.抛物型偏微分方程当判别式∆=B2−4AC=0时，方程(13.2.3)一定有重根ABdxdy2所以特征曲线是一族实函数曲线．其特征方程的解为φ(x,y)=c因此令ξ=φ(x,y),η=y作变换，则原方程变为),(),(),(),(222222GuFuEuDu(13.2.6)此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式抛物型方程又可记为0),,,,(22uuuu例13.2.2设原偏微分方程为022222222yuyyxuxyxux（0y）其判别式∆=B2−4AC=4x2y2-4x2y2=0,所以特征方程为抛物型，其特征方程为x2(dy)2-2xydxdy+y2(dx)2=0上式又可变形为（xdy-ydx）2=0因此，特征曲线为cxy若令xy，y，则uxuxyuxyyxuuuxuxyuuxyuxyxuuuxyuuxyxuyxyxyx222223222222222322422222121,21,1,1,代入原方程)00(0222或yu因为,0所以原偏微分方程化为下列标准形式：022u3.椭圆型偏微分方程当判别式∆=B2−4AC0时，如上讨论偏微分方程(13.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族得到特征方程的解为φ(x,y)+iψ(x,y)=c1;φ(x,y)−iψ(x,y)=c2若令ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)作变换，则偏微分方程变为),(),(),(),(33332222GuFuEuDuu.....13.2.7上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．椭圆型方程又可记为如下形式．0),,,,(2222uuuuu拉普拉斯方程、泊松方程等都属于这种类型．0222222zuyuxu静电场的电势方程----泊松方程例题13.2.3设原偏微分方程为022222yuxuy判别式∆=B2−4AC=0-4y20,所以特征方程为椭圆型，其特征方程为y2(dy)2+(dx)2=0上式又可变形为（ydx+idy）（ydy-idx）=0因此yidxdy1这个常微分方程的解为2212c-21c21常数，常数ixyixy是一组共轭复数族。若令xy,212则原偏微分方程化为如下的标准形式uuu212222第13.3节一、二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简1.双曲型对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简),(11112Gufueudu注：上式中用小写字母d1,e1,f1代表常系数，以便与大写字母代表某函数区别开来,例如G1(ξ,η)为了化简，我们不妨令u(ξ,η)=ee1ξ+d1ηv(ξ,η)从而有)2.4.10(),(112Jvhu其中h1=d1e1+f1,J1(ξ,η)=G1(ξ,η)e−(e1ξ+d1η)由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简),(11112222Gufueuduu(10.4.3)式中d1,e1,f1,均为常系数．若令u(ξ,η)=ee1ξ+d1ηv(ξ,η)(10.4.4)则有)5.4.10(),(112222Jvhuu其中h1*=f1−e12+d12+2e1d1,J1(ξ,η)=G1(ξ,η)e−(e*ξ+d*η)2.抛物型对于含常系数的抛物型偏微分标准方程),(222222Gufueudu还可以进一步化简．上式中小写字母d2,e2,f2为了化简，不妨令u(ξ,η)=ee2ξ+d2ηv(,)),(2222Jvhv3.椭圆型对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程),(33332222Gufueuduu还可以进一步进行化简．上式中小写字母的d3,e3,f3为常系数．为了化简，不妨令u(ξ,η)=ee3ξ+d3ηv(ξ,η)从而有),(332Jvhu其中h3=f3−(e3−d3)2,J3(ξ,η)=G3(ξ,η)e−(e3ξ+d3η)13.5节1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：(1).当u为方程的解时，则cu也为方程的解；(2)若u1,u2为方程的解，则c1u1+c2u2也是方程的解；(3)线性偏微分方程的叠加原理(4)线性偏微分方程的积分解叠加原理是线性偏微分方程具有一个非常重要的特性即若uk是方程L[u]=fk(k=1,2,...)的解.如果级数1kkkucu收敛，且二阶偏导数存在则1kkkucu一定是方程L[u]1kkkucu的解（当然要假定这个方程右端的级数是收敛的）．3.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：(1)若uI为非齐次方程的特解，uII为齐次方程的通解，则uI+uII为非齐次方程的通解；(2)若L[u1]=H1(x,y),L[u2]=H2(x,y),则L[u1+u2]=H1(x,y)+H2(x,y)