数学物理方程与特殊函数第二三章作业

习题2.14.一根长为L、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L端，使之获得冲量I。试写出定解问题。解：由题意可知定解问题为：)(,)/(,)0(,0,00,0)/(000002LxLIuLxuuuuuauYutttttxxxxxxxtt习题2.23.设物体表面的绝对温度为u，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—玻尔兹曼定律正比于u4，即dQ=ku4dSdt，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(tzyx。试写出边界条件。解：由题意可知：dsdtudsdtnuk)(44∴边界条件为：)(44uknus习题2.34.由静电场Gauss定理VSVSEd1d0，求证：0▽E，并由此导出静电势u所满足的Poisson方程。证明：由题意可知由静电场高斯定理：VSVVVdivESEd1dd0∴00▽EdivE习题2.42.(1)032yyxyxxuuu解：由题意可知：△=12－1×(-3)=4﹥0=双曲型03dd2dd2xyxy=3ddxy或-1令yxyx3则1113yxyxQ=08801113311111132212121122121211TQaaaaQaaaa00b0b21fccLcL∴)()3()()(016yxgyxfgfuu(5)031616yyxyxxuuu解：由题意可知：△=82－16×3=16﹥0=双曲型03dd16dd162xyxy=43ddxy或41令yxyx443则4143yxyxQ=03232044133881641432212121122121211TQaaaaQaaaa00b0b21fccLcL∴)4()43()()(064yxgyxfgfuu习题2.52.试证明：若),,(txV是定解问题),(,00,0,0,002xfVVVVtLxVaVtttLxxxxtt的解，则tdtxVtxu0);,(),(是定解问题0,00,00,0),,(0002tttLxxxxttuuuutLxtxfuau的解。证明：由题意可知：00tu0);0,(0xVutt其次，因),,(txV是齐次定解问题的解，因此，0,00Lxxuu∴tdtxVtxu0);,(),(是定解问题0,00,00,0),,(0002tttLxxxxttuuuutLxtxfuau的解。习题2.61.(3)证明公式：)0()()(aaxax证明：由题意可知：1)()(1)()(xdaxaaxdax且1)()(xdx)()()()(xdaxxdax∴)0()()(aaxax习题3.13.(4)0,0002LxxhXXXXX解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令2）a)当02时，方程0X的通解为X(x)=Ax+B.（A、B为任意常数）代入边界条件得X(0)=B=0[X´(L)+hX(L)]=A+h(AL+B)=0=(1+hL)A=0b)当02时，方程0XX的通解为xxxXBsinAcos)(.（A、B为任意常数）代入边界条件得X(0)=A=0LhBsinLhAcosLcosBLsinA(L)(L)hXX=0LhBsinLcosB=hLtg∴边值问题的固有值n为hLtg的正根。相应的固有函数为xxXnnnsinB)(7.一根长为L的杆，一端固定，另一端受力F0而被拉长。求杆在去掉F0时的振动。设杆的截面积为S，杨氏模量为Y。解：由题意可知定解问题为：0,)(0,00,0,00002tttLxxxxxttuxSYFuuutLxuau=0)L(,0)0(0XXXX=当0时，边值问题只有零解。当0时，X(x)=Ax+B.当A=0，B≠0时，方程满足条件。当0时，xxxXBsinAcos)(.（A、B为任意常数）代入边值条件得：X(0)=A=0，0LcosB)(LX=2)12(nL(n=0,1,2··)则固有值为2224)12(Lnn，相应固有函数为xLnxXnn2)12(sinB)(（Bn为任意非零常数）∴xLnLatnLatntxunnn2)12(sin]2)12(sinD2)12(cosC[),(0(n=0,1,2··)代入初始条件为：002)12(sin2)12(D)()0,(,2)12(sinC)()0,(nntnnxLnLanxxuxLnxxu=LnLnndLnanLLnSYLFdLnL0022002)12(sin)(2D)12()1(82)12(sin)(2C∴02202)12(sin2)12(cos)12()1(8),(nnLxnLatnnSYLFtxu(n=0,1,2··)习题3.22.一根长为L的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为)(x。求细杆上的温度变化的规律。其定解问题为：)(0,00,0,002xuuutLxuautLxxxxxxt解：由题意可知定解问题的固有值问题为：0)L(,0)0(0XXXX=当0时，边值问题只有零解。当0时，X(x)=Ax+B.当A=0，B=0时，边值问题只有零解。当0时，xxxXBsinAcos)(.（A、B为任意常数）代入边值条件得：0)0(BX，0LsinA)(LX=nL(n=0,1,2··)∴固有值为222Lnn，相应固有函数为xLnxXnncosA)(（An为任意非零常数）又tannnetTtTatT2C)(0)()(2∴xLnetxutLanncosA),(2222，LndLnL0cos)(2A习题3.34.求解圆域内Laplace方程Neumann问题：)(,0,011222fuRuuR解：由题意可知Laplace方程一般解为：100)sincos(2),(nnnnnbnaau其中0a为任意常数dnfRnanncos)(11，dnfRnbnnsin)(11（n=1,2，··）习题3.42.一个长、宽各为a的方形膜，边界固定，膜的振动方程为000,0,0),(002ayyaxxyyxxttuuuutayaxuuku求方形膜振动的固有频率。解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间固有值问题的固有值为2222mnanm求解关于T(t)的常微分方程，可得通解为：tmnatmnatT)(sinB)(cosA)(22mn22mn∴相应的方形膜振动的固有频率amnmnafnm2)(2)(2222习题3.52.求解定解问题：00020,00,0,0TuuutLxAeuautLxxxxxt其中，T0是常数。解：由题意可知定解问题的边值问题为：0)(,0)0(0dd222LvvAexvax解得：11)(22LeeaAxvLx令),()(),(txxvtxu，代入原定解问题，得：xxxtAeTxWtLWtWtLxWaW02)0,(0),(,0),0(0,0,得：1sin),(2222nLtannLxneAtxW其中LnnLneAnnnTdLnAeTLA0222200)cos1(2)cos1(2sin)(2∴122sin11),()(),(2222nLtannLxLxneALeeaAtxxvtxu6.求解定解问题：00002tLxxxxxtuuuAuau解：由题意可知分离变量发可得固有值及固有函数分别为：固有值为2224)12(Lnn，相应固有函数为xLnxXnn2)12(sinA)(（An为任意非零常数，n=1,2···）则12)12(sin)(),(nnLxntTtxu代入波动方程，并将A按xn展开，得：)12(42)12(sin22)12(sin01nAdLnALALxnAALnnn则11212)12(sin)12(42)12(sin2)12(2)12(sin)(nnnnnLxnnALxnTLanLxntT比较可得：0)0()12(42)12()(2nnnTnATLantT∴tLanneanALtT22)12(23321)12(16)(∴原定解问题解为：12)12(23322)12(sin1)12(16),(2ntLanLxneanALtxu习题3.61.求解定解问题：22101022)(,00,0,xLuuuuutLxubuautLxxxxxt其中，b和u0是常数。解：由题意可知：由于边值问题诗非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。令)(),(),(xWtxvtxu代入波动方程得：)()(22WvbWvavxxxxt为使方程与边界条件同时齐次化，)(xW需满足：1022,00u∴xabxabLabLabeeeeuxW1)(),(txv定解问题为：)()(0,02210022xWxLuvvvvbvavtLxxxxxt解得：xLneanLbnuLaxLnenutxvtLanbnntLanbnn2)12(cos1])12(4)[12()1(162)12(cos)12(32)1(),(22222222224)12(0322221224)12(0331所以xLneanLbnuLaxLnenueeeeutxvxWtxutLanbnntLanbnnxabxabLabLab2)12(cos1])12(4)[12()1(162)12(cos)12(32)1(),()(),(22222222224)12