数学物理方程第一章矢量分析与场论基础

第一章矢量分析与场论基础内容提要1）正交曲线坐标系：设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：),,(11zyxqq),,(22zyxqq),,(33zyxqq在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为iiidqhdliiiidqhqdlˆkjkjikjidqdqhhqdldldsˆkjikjikjidqdqdqhhhdldldldv式中i、j、k代表循环量1、2、3，kjiqqqˆˆˆ，1ˆˆˆkjiqqq，222iiiiqzqyqxh称拉梅系数。三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：zyxzeeeeeeˆˆˆ1000cossin0sincosˆˆˆ柱坐标与直角坐标zeeeeeeˆˆˆ010sin0coscos0sinˆˆˆ球坐标与柱坐标zyxeeeeeeˆˆˆ0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinˆˆˆ球坐标与直角坐标2）矢量及其运算：直角坐标中算符的定义：zyxezeyexˆˆˆ一个标量函数u的梯度为：zyxezueyuexuuˆˆˆ梯度给出了一点上函数u随距离变化的最大速率，它指向u增大的方向。一个矢量F穿过一个曲面S的通量为sdsF对一个闭合曲面而言，ds向外为正。直角坐标系中F的散度zFyFxFFzyx表示在这一点上每单位体积向外发散的F的通量。散度定理：VSdsFdvF散度的体积分=矢量的面积分其中v是由s所包围的体积。斯托克斯定理：LsdlFdsF)(旋度的面积分=矢量的线积分其中s是由l所包围的面积。直角坐标系中F的旋度zyxzyxFFFzyxeeeFˆˆˆ拉普拉辛是梯度的散度在直角坐标系中：2222222zuyuxuuu一个矢量的拉普拉辛定义为：zzyyxxeFeFeFFˆˆˆ2222其它坐标也可写成：FFFx)(2柱坐标系中zezerˆˆzedzeededrdˆˆˆdzdddvzezueueuuˆˆ1ˆzFFFFFz1zzFFFzeeeFˆˆˆ12222222211zuuuuu球坐标系中rerrˆedrerdedrdrrˆsinˆˆddrdrdvsin2eureureruurˆsin1ˆ1ˆ)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrFrrFFrrerereFrrsinˆsinˆsinˆ222222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrru3）亥姆霍兹定理：矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和leFFF其中lFF)0(eFeFF)0(lF因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究4）函数定义：0)'(rr)'()'(rrrr)'(1)'(0)'(内在外在vrvrdvrrv性质a）偶函数：)()(xxb）取样性：)()()(afdxaxxf有机会用到的表达式：'141)'(2rrrr1-1.证明：)4ˆ3ˆ2ˆ()6ˆ2ˆ9ˆ(zyxzyxeeeeeeBA=18+6-24=0说明BA与相互垂直1-2.空白1-3.证明：0zzyyxxBABABABA说明BA与相互垂直1-4.解：当坐标变量沿坐标轴由iu增至iiduu时，相应的线元矢量idl为：)()(iiiiuduudl=iiduu=iiiduuuˆ其中弧长iiiiduudldl其中31ˆˆˆˆˆ332211jjjyxxxxxxxjjijixuxuˆ31231jiiuxuj令231jijuxhi则iduhdlii1-5.解：(1)据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有)()()(ccBABABA其中cA、cB暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式cbabcacba)()()(将上式右端项的常矢轮换到的前面，使变矢都留在的后面aAcBABABAccc)()()(aBcABABBAccc)()()(则ABABBABABAcccc)()()()()(除去下标c即可ABABBABABA)()()()()((2)利用(1)式的结果即可。(3)据算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有)()()(ccHEHEHE再算子的矢量性，并据公式)()()(acbbaccba将常矢轮换到的前面)()(HEHEccaEcbcH)()(EHHEccaHcbcE代入得：)()()(HEEHHEcc)()(HEEH1-6.(1)证：zAyAxAAzyxzududAyududAxududAzyxduAdu(2)证：)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(yAxAexAzAezAyAeuAxyzzxyyzx右边第一项的x分量xyzxeduAduzududAyududAeˆ)()(ˆ同理yzxyeduAduxududAzududAeˆ)()(ˆzxyzeduAduyududAxududAeˆ)()(ˆ则duAduuA)((3)0)()()()(yAxAzxAzAyzAyAxAxyzxyz1-7.证：zyxezReyRexRRˆˆˆRReRzzeRyyeRxxzyxˆ)'(ˆ)'(ˆ)'(zyxezReyRexRRˆ'ˆ'ˆ''RReRzzeRyyeRxxzyxˆ)'(ˆ)'(ˆ)'(所以RRRR'据公式ududfuf)(3211RRRRR32'11'RRRRR所以31'1RRRR013RRR（梯度的旋度等于零）33311RRRRRRRRRR431)3(303353RRRR)0(R同理3331''1'RRRRRRRRRR'1)3(343033353RRRRRR)0(R1-8.解：)sin()sin(E00rkErk)()cos(0rkrkE)cos()(0rkrkE)cos(0rkkE000)cos()sin()]sin([EkrkErkrkE1-9.证：用常矢量c点乘式子两边得dsfncfdscfdvcsvs)(上式左边：vvfcdvfdvc)(利用矢量恒等式：)()()(fccfcfvvcfdvfcdv)()(dsncfdscfss)()(dsfncs)(因为c为任意常矢量，则svfdsfdv设c为任意常矢量，令cF,代入Stokes定理sLdlFdsF上式左边sssdscdscdsc)(ssdscdscsdsc上面用到：)()(acbcba右边LLLdlcdlcdlF则得：Lsdlcdsc因为c是任意的，所以sLdlds1-10.证：据矢量场的散度定理VsdsnFdvF令F，和为空间区域中两个任意的标量函数则svdsdv)(上式左边dvdvvv][)(2所以svdsdv][21-11.函数F在M点的散度从它的定义推出VdsFFsV0lim如图，考虑cu2的两个端面左端面位于2u，右端面位于22duu取曲面外法向为正，两个端面对向外的通量的净贡献是]ˆ[]ˆ[313122231312duduhhuFduududuhhuF)ˆ(3213122dududuhhuFu3213122)(dududuhhFu同理其余两对面分别是3213211)(dududuhhFu3212133)(dududuhhFu即321213331223211)]()()([dududuhhFuhhFuhhFudsFs上式除以321dududugdvV并取极限0,0,0321dududu则矢量F的散度是)(1KJIIhhFugFijk)1(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)(333222111ufhuufhuufhuFiiiiuufhˆ131其中Ff)(12iikjiiufhhhugff)1(12iiiiufhgug