数学解题中的通性通法

数学解题中的通性通法中学数学的学习离不开数学解题，在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。通性通法对数学学习与数学解题非常重要，在数学解题中，我们要整体把握好通性通法，理解通性通法的本质。下面让我们通过几个问题，共同探讨一下数学解题中的通性通法。1.二次函数闭区间上求最值求函数xxxf22)(在区间],[32上的最大值和最小值.解题思路：作出函数xxxf22)(的图象，在区间],[32上截段，数形结合，寻求函数的最大值和最小值解题过程：由022xxxf)(解得零点：2021xx,，作出函数)(xf的图象（如图）由图象可以看出：当2x时，函数)(xf取最大值8442)(f;当1x时,函数)(xf取最小值1211)(f.规律总结：二次函数闭区间上求最值时，基本的通法是：作图象，截段，求最值等。2.直线与圆锥曲线位置关系已知双曲线C：2222yx与点P(1，2)，求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入曲线C的方程，并整理得：(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，直线l与曲线C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即k=23时，方程(*)有一个实根，直线l与曲线C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜23,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜kxyoxxxf22)(2231x＜23时，方程(*)有两不等实根，直线l与曲线C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞23时，方程(*)无解，直线l与曲线C没有交点.综上可知：当k=±2,或k=23，或k不存在时，直线l与曲线C只有一个交点；当2＜k＜23,或－2＜k＜2,或k＜－2时，直线l与曲线C有两个交点；当k＞23时，直线l与曲线C没有交点.规律总结：判定直线与圆锥曲线位置关系时,首先讨论直线有无斜率。当直线l斜率存在时，应将直线l方程与圆锥曲线C的方程联立,消去y(也可消去x)得一个关于变量x的一元方程220.axbx①当0a时,若有0,则l与C相交;若0,则l与C相切;若0,则l与C相离.通过的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系。②当0a时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交。3.待定系数法求解数学问题待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决的数学方法。解题的关键是依据已知条件，正确列出等式或方程。例1已知抛物线过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求函数解析式.解：设函数解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1）c=1∴a+b+c=2，解之得a=-2，b=3，c=1；4a+2b+c=-1故函数解析式为y=-2x2+3x+1.例2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0．例题评析：以上两个例题均采用了待定系数法。判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，两个问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。待定系数法解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。通过以上几个例子，我们可以看到通性通法在数学解题中的重要作用。这种具有普遍意义的解题方法，在解决问题中是最适用的，是数学方法的主流，也是高考中的重要考查点。因此，我们在教学中重视对通性通法的重视和引导，把通性通法放在一个重要的地位。当然，数学中的通性通法不仅仅是以上几种，如数形结合、变量代换、消元、某类问题的解法等，都是重要的通性通法。在教学中需要我们将其渗透于各章节之中，加强对通性通法的训练与提高。