数形结合思想在解题中的应用

[获奖论文联展]数形结合思想在解题中的应用2009-01-27摘要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。关键词：数形转换数形结合ApplicationofthecombinationofAlgebraandgeometryinsolvingproblemsAbstract:Asathinkingmethod,thecombinationofalgebraandgeometryisoftenavailable,whichcansimplifycomplicatedproblems,specifytheabstractones,andturntheabstractshapesandthoughttobevisual,andisaccordinglyhelpfultograsptheessenceofmathematics.Thesocalledcombinationisanapproach,whichnotonlyanalyzemeaningofalgebra,butalsodisclosethesignificanceofgeometryaccordingtotheinsiderelationshipofconditionsandconclusions,andharmoniouslycombinestheformofnumberandspaceasone.Thisarticlewillsetforththetightcontactbetweenalgebraandgeometrythroughouttheanalysisoftwotypicalstyles“Geometryhelpsunderstandalgebra”and“Algebrahelpsunderstandgeometry”,inordertosolverelevantproblemswell.Keyword:thetransferofalgebraandgeometrythecombinationofalgebraandgeometry数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。在数学学习中，不单纯是数的计算与形的研究，更多的是用数形结合思想解题。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。以下就对数形结合思想在解题中的应用从“以形助数”和“以数助形”这两方面试做一番探讨。一、由数到形，利用形的直观性开拓解题思路很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解。（一）借助于方程的曲线解决最值问题例1。分析：构造直线的截距的方法来求之。截距。（图1）（二）借助于函数图象解决取值范围问题例2，，分析：以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），N表一条直线，其斜率k=1，纵截（图2）例3若-32，则x的取值范围是（）A、（-，）B、（，）C、（-，0）è（，+￥）D、（-￥，-）è（，+￥）y分析：本题若用常规解法则比较花时间，x若用函数y=的图象求解，则比较简单。如右图不难得出-3＜＜2的解是ｘ＜-或ｘ＞，选择D。（图3）（三）借助于函数图象解决不等式的值域问题例4常规解法：数形结合解法：（图4）说明：这是一个代数问题，若依常规解法即要考虑x0的情况，又要考虑x0的情况，缺一不可；而运用数形结合的方法，只需设两个函数，再结合其图象，答案一目了然，从而使问题直观化，得到解决。例5求函数的值域。解法一（代数法）：由得，，解不等式得函数的值域为解法二（几何法）：的形式类似于斜率公式，表示过两点的直线的斜率。由于点在单位圆上（见下图5）显然，设过的圆的切线方程为，则有，解得即函数值域为（图5）（四）借助于图象解决解决排列组合问题例6某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有多少种？分析：本题主要考查排列组合的基本知识，不定不等式的解法以及借助数形结合思想解决实际问题的能力解：设需买软片x片、买磁盘y盒，依题意得：60ｘ＋70ｙ≤500，X≥3，ｙ≥2。上述不等式同时成立所表示的平面区域为如右图所示的阴影三角形上。整点（ｘ，ｙ）共有7个，即为（3，2）、（4，2）、（5，2）、（6，2）、（3，3）、（4，3）、（3，4），共有7种不同的选购方式。（图6）（五）借助于复平面上的点解决复数问题例7已知复数满足，求的模与辐角主值的范围。分析：由于有明显的几何意义，它表示复数对应的点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应的点在以（2，2）为圆心，半径为的圆上，（如下图），而表示复数对应的点到原点的距离，显然，当点，圆心，点三点共线时，取得最值，的取值范围为同理，当点在圆上运动变化时，当且仅当直线与该圆相切时，在切点处的点的辐角主值取得最值，利用直线与圆相切，计算，得，即即（图7）例8已知复数的最大值是多少？分析：由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，而表示复数对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：（图8）二、从形到数，揭示形中数的本质数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。（一）用代数方法解决平面几何问题例10已知三顶点是，求的平分线的长。解法：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点，画出的边及其的平分线。（如右图）第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：（图9）（1）；（2）；（3）；（4）等等。证明：∵∴,∵∴（1）∵是的平分线∴（2）∵(角平分线定理)∴（3）∵∴（4）不正确第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点作，交于点，则有∽或等等。又在中，（可以口答出）.（图10）（二）用代数方法解决立体几何的问题例11如图，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC，垂足为D，且D在BC的延长线上，BC＝CD＝DA＝1，记PD＝x，∠BPC＝q，求tanq的最大值．（图11）分析：用x表示tanq，即将tanq表示为x的函数，再求函数的最大值．解：∵PA⊥平面ABC，∴AD是PD在平面ABC内的射影．又∵AD⊥BC，即BD⊥AD，∴BD⊥PD．在Rt△PDB和Rt△PDC中，q＝∠BPD-∠CPD，∵tan∠BPD＝，tan∠CPD＝，∴tanq＝tan(∠BPD-∠CPD)＝=(x1)．∴tanq＝≤=，当且仅当x＝，即x＝时“＝”成立．∴tanq的最大值为．综上所述，代数方法的特点是解答过程严密，规范，思路清晰，几何方法具有直观，形象的优势。［1］凌志勇、孙树长等编著《四论复习法详解手册》，吉林长春延边大学出版社出版，2002年7月第三版［2］李勇新、滕文凯等编著的《中学数学教材教法》，东北师范大学出版社出版，2001年6月第2版