数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案

10---11-2数学物理方程与特殊函数（A卷）参考答案一．填空题1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题；2，函数tzyxuu,,,1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程；3，xttxw,；4，)cos(tx；5，1,1，txt；6，4122yx；122yx；7，xx35213；32331481xdxd；无界的；8，;,122,,0nmnnm.,2,1,021211ndxxPxfnn二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322dtdxdtdx，即：31dtdx，1dtdx。由此得积分曲线：13Ctx，2Ctx。作特征变换：tx3，tx，则：uutu，uuxu3；22222222uuutu，22222223uuuxtu，222222239uuuxu。代入原方程，整理得：02u，则通解为：21ffu，其中21,ff是任意两个连续二次可微函数。因此原方程通解为：txftxftxu213,。由初值条件有：22133xxfxf，0321xfxf。由微分方程有：Cxfxf2133因此449321Cxxf，44121Cxxf，44322Cxxf。代入通解得到所求解为：2222343341,txtxtxtxu。三．解：设函数txu,1txu,2分别是下列两个定解问题的解：（Ⅰ）.0,sin,0,0,020101101111tttxxtxxttuxuuuuuu（Ⅱ）.0,0,0,0,sin620202202222tttxxttxxttuuuuxeuuu则根据线性方程解的叠加原理，原定解问题的解txutxutxu,,),(21。现求解问题（Ⅰ）：设此问题的非平凡解tTxXtxu,1，代入方程有02tTxXtTxXtTxX，则有：xXxXtTtTtT2。上式左右两边分别是t和x的函数，只能等于同一常数时才能成立，因此有02tTtTtT，0xXxX。代入边界条件，注意到要求解的非平凡性，有0)(0XX。由此有特征值问题：,00,0XXxXxX其特征方程是：02q；①当0时，特征根q，方程通解xxBeAexX，由定解条件有,0BA0BeAe，则0BA，此时0xX是平凡解；②当0时，特征重根0q，方程通解BAxxX，由定解条件有0BA，此时0xX也是平凡解；③当0时，特征根iq，方程通解xBxAxXsincos。由定解条件有,0A0sinB。为了得到非平凡解，需0B，则只能0sin，由此有n，则特征值2nn，特征函数nxxXnsin，,3,2,1n；把2nn代入)(tT的微分方程，得到022tTntTtT，其特征方程为0222npp，当1n时，特征重根1p，方程通解teBtAtT)()(111；当2n时，特征根inp112，方程通解)1sin1cos()(22tnBtnAetTnntn；则满足问题（Ⅰ）中方程和边界条件的特解xeBtAtxutsin,1111,nxetnBtnAtxutnnnsin)1sin1cos(,221，2n,由此得到级数解nxtnBtnAexeBtAtxunnnttsin)1sin1cos(sin,222111.由初值条件xutsin01有xnxAxBnnsinsinsin21.根据特征函数系,3,2,1,sinnnx的正交性，有常数11B，0nA,2n.因此nxtnBexetAtxunnttsin1sinsin1,2211，关于t求导得nxtnntneBxeAtAtxutnnttsin)1cos11(sinsin)1(,2222111.由初值条件001ttu有0sin1sin)1(221nxBnxAnn.同样根据特征函数系的正交性，有常数11A，0nB,2n.因此，问题（Ⅰ）的解xettxutsin1,1.现求解问题（Ⅱ）：由于问题（Ⅰ）中的特征函数系,3,2,1,sinnnx，设定解问题（Ⅱ）的级数解为：12sin,nnnxtutxu。代入方程和初值条件可得：xenxunuutnnnnsin6sin)2(12,,0sin01nnnxu0sin01nnnxu；由特征函数系的正交性，有⑴0,62011111tottuueuuu和2n时⑵.0,0202tnotnnnnuuunuu对于问题⑴，对应齐次方程的特征方程为0122pp，特征重根1p，则齐次方程通解teDtCtu)()(111.设非齐次方程特解tetCtu21)(，代入方程有3C，所以tettu213)(,则方程通解teDtCttu)3()(1121.由初值条件有011DC，故问题⑴的解为tettu213)(.对于问题⑵，方程的特征方程0222npp，当2n时，特征根inp112,方程通解)1sin1cos()(22tnBtnAetunntn.由初值条件有0nnBA,因此,0)(tun2n.由此可知问题（Ⅱ）的解xettxutsin3,22.综上可得，原问题的解xetttxutsin)13(,2四．解：记函数xtxu),,(的F变换dxetxutUxi,),(,,)(dxexxi对方程和初值条件作F变换，并利用其微分性质，有,0,,,0,,00222ttdttdUtUtUadttUd，方程的特征方程为022a，特征值ia，则方程通解为atBatAtUsincos),(由初值条件有常数,0,BA所以attUcos),(，则atFtUFtxucos,),(11根据F变换的卷积定理有atFxatFFtxucoscos),(111根据F逆变换的定义和函数的性质有deattFixcos21cos1deeeixiatiat41)(41dedeatxiatxiatxatx21根据卷积的定义，最终得到初值问题的解atxatxxtxu21),()(21datxdatxatxatx21五．证明：记20201yyxxrrMM,ryxvln,.0y时，0r，则rxxxr0，ryyyr0，201rxxxrrxv，201ryyyrryv，所以420222)(2rxxrxv，420222)(2ryyryv，故022)()(224224202022222rrrryyxxryvxv，即02v；由于20200yyxxrMM，则在0y时，有202001yxxrrMMMM,因此000lnyMMyrv.综上所述，函数1lnMMrMv满足该Dirichlet问题。六．解：由物理意义，温度函数),(tru满足自然条件：①当0,10tr时，),(tru；②当t时，.0),(tru令)()(),(tTrFtru，代入方程得)(1)()(2tTrFrrFatTrF.由此有)()(222rFrrFrrFrtTatT，此式成立，只能等式两边等于同一常数,因此有⑴02tTatT，⑵0)()(22rFrrFrrFr.方程⑴的解为taeCtT2，由条件②知，0，令0,2。⑵是0阶Bessel方程，此时方程⑵的通解为)()(0201rYCrJCrF.由于第二类Bessel函数)(0rY的值在0r时是无穷，由条件①知，常数02C，因此rJCrF01)(。由问题的边界条件知，00J，即是第一类Bessel函数xJ0的零点。若0n是xJ0的正零点，则0n,,3,2,1n由此可以得到rJrFnn00)(,tannneCtT20)(,从而可以得到满足方程和边界条件的特解.,00)(20rJeCtruntannn