数理方程练习题

第二章定解问题与偏微分方程理论习题2.11.密度为ρ均匀柔软的细弦线x=0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。2.长为L，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。3.长为L、密度为ρ的底半径为R的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x=0处。导出此杆的振动方程。4.一根长为L、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L端，使之获得冲量I。试写出定解问题。习题2.21.一半径为r，密度为，比热为c，热传导系数为k的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u1的介质发生热交换，且热交换的系数为k1。试导出杆上温度u满足的方程。4.设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x，两端满足下列边界条件之一：（1）一端（x=0）绝热，另一端（x=L）保持常温u0；（2）两端分别有热流密度q1和q2进入；（3）一端（x=0）温度为u1(t)，另一端（x=L）与温度为)(t的介质有热交换。试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。习题2.41.判断下列方程的类型：（1）04ucubuauauauyxyyxyxx；（2）02ucubuauauauyxyyxyxx；（3）02222uaubuauauauyxyyxyxx；（4）0yyxxxuu。2.求下列方程的通解（1）0910yyxyxxuuu；（3）0384yyxyxxuuu。第三章分离变量法习题3.12.求解下列定解问题（1）)(,00)0,0(,0002xLxuuuutLxuautttLxxxxtt3.求下列边值问题的固有值和固有函数：（1）0,000LxxXXXX（3）0,0012exxyyyyxyx习题3.21.求定解问题：)(0,0)0,0(,002xLxuuutLxuautLxxxxt习题3.52.求解定解问题：00020,0)0,0(,0TuuutLxAeuautLxxxtxx0T是常数。3.求解定解问题：2000cossin,(0,0)0,00,0ttxxxxxxLtttxuauAtxLtLuuuu习题3.62.求解定解问题：)(),(,)0,0(),(002102xuxuMuMutLxxfuautttLxxxxtt其中，1M和2M为常数。5.求解定解问题：0),0(,),0()(,),(,0)0,()(,xuExxuEELtutugguutxxxtt为常数为常数第四章行波法习题4.11.求下列波动方程柯西问题的解：(1)2002,sinxuxuuautttxxtt(2)xuuuautttxxtt002,56.求下列强迫振动的柯西问题的解（1）2002,5)exp(xuuxuautttxxtt；（2）0,sin)exp(002tttxxttuxutxuau习题4.21.求解半无界弦定解问题：2000,0,0sin,cos0ttxxtttxuauxtuxuxu5.求解下列定解问题：)(),()0,(,020022xuxutxuauuutttxxttt[提示：作代换tweu。]第五章积分变换习题5.11．若)()]([fxgF，求证：)(2)]([gxfF。3．求函数的付里叶变换（1）|)|exp()(xxf；（2）)exp()(2xxf；（3）2cos)(xxf第六章格林函数法1．求区域上的格林函数（1）求上半圆域的格林函数；（2）求上半球域的格林函数。2．求解圆域上的Dirichlet问题)(),(1,01rruru（1）cos)(a；（2）cos)(ab。第七章1．设有静电场的圆柱域的上下底（半径为a）接地，侧面电位为u0。求域内电位分布。即问题的定解问题为：000)0,(,01uuuuhzauuuahzzzz对定解问题分离变量求出贝塞尔方程的特解。2．证明：xxxJcos2)(21。3．证明：0)0(12nJ，其中n=1，2，3，…