弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性

第1页共6页6.弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性摘要：文章首先给出了轻质弹簧的一个性质定理，然后分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论．关键词：轻质弹簧；性质定理；伽利略不变性；力学相对性原理；机械能守恒中图分类号：O313.1文献标识码：A参考文献[1]-[11]都有这样一个题目：一质量为m的小球与一劲度系数为k的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动．试问在一沿此弹簧长度方向以速度u相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由．（地球的质量视为充分大，从而稳定地保持为惯性系）由于弹簧和小球连接在一起，物理量之间存在着联系，因此可以等效认为弹性势能属于弹簧，但是本质上属于小球.为此我们首先给出轻质弹簧的一个性质定理——轻质弹簧的性质定理：轻质弹簧虽然始终是两端受力而不是单端受力，但是计算轻质弹簧的形变和弹性势能时，设有两种情形：第一，将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k；第二，将其中点视为相对静止，则可视为两根串联的弹簧，其劲度系数是2k.证明：1、当观察者在弹力所在直线上的分速度为0时假设轻质弹簧所受外力为F，我们可以从两个角度认识，一方面将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k，形变为x,我们当初定义劲度系数k=F/x，弹性势能为21kx2；换一个角度如果认为弹簧是两端受力使弹簧发生形变，此时应该视为为两个劲度系数相同的弹簧串联，根据弹簧串联的知识可以知道这时每个轻质弹簧的劲度系数为2k，弹性形变为21x,整个弹簧形变还是x，弹性势能为21k(21x)221kx2也不变.所以在轻质弹簧问题中考虑两端受力与一端受力计算弹性形变和弹性势能是等效的，只不过等效劲度系数不同,但是由于整个弹簧的劲度系数不变，计算弹簧振子周期时仍然用k，这是轻质弹簧的一个性质.2、当匀速运动（变速运动也成立，本文不再讨论）的观察者相对于轻质弹簧的固定点在弹力所在直线上的分速度不等于0时，以弹簧的伸长为例（压缩类似），当墙对于弹簧的作用力的作用点产生位移s时，小球对于弹簧的作用点的位移就减少s(因为它们是平衡力)，把这种观测效应恰好抵消.证毕.说明：轻质弹簧的性质定理只是说明考虑两端受力效果计算用2k,考虑一端受力效果劲度系数用k计算，这里采用等效的观点处理问题，爱因斯坦创立广义相对论时也曾经采用过等效原理.该定理不代表弹簧的劲度系数发生了变化，其实弹簧的劲度系数是伽利略不变量，下面是朱如曾研究员的证明——根据质量、时间和空间坐标的伽利略变换式，弹簧的无形变长度l0和伸长(x-x0)以及质点的加速度均是伽利略不变量.力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯性系，故力也是伽利略不变量，因此弹簧拉力f是伽利略不变量，由于伸长(x-x0)也是伽利略不变量，所以作为拉力与伸长之比的弹性系数也是伽利略不变量，但是胡克定律不具有伽利略变换的不变性.考虑到弹簧两端受力都使弹性势能发生改变时，如果继续用劲度系数k计算弹性势能，能量显然会增大，其实无论如何分割弹簧，弹性势能应该是不变的.弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型.由于忽略了弹簧的质量，所以系统的机械能就是弹簧的弹性势能加上小球的动能.当初定义轻质弹簧的劲度系数k时，是用一端受力定义的（其实是两端受力，另一端按照固定不变定义），如果按照两端受力，劲度系数都用k计算，形变有可能超过弹性限度.参考解答提出在运动系中弹簧在靠近墙的一端所受的力第2页共6页也做功，这样计算也可以，此时必须按照两个相同的弹簧串联处理，每一个的劲度系数为2k，由于整个弹簧的劲度系数不变，周期不变，结果是等效的，因此参考解答错误.如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了，才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功，显然可以测量出小车相对于墙的运动速度,这与力学相对性原理(不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度)是不符合的.解：在地面参照系上观察时，以弹簧未被压缩和拉伸时的小球所处位置（平衡位置）为坐标原点，以水平向右的直线ox为x轴，建立直线坐标系如图1所示．当t0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为：xAcos(ωt)，其中ω2k/m，kmω2．设小球的速度为v，加速度为a，受到的力为f，动能为Ek(t)，势能为Ep(t)，机械能为E(t)．则有：vtxddωAsin(ωt)，atddvω2Acos(ωt)，fmamω2Acos(ωt)kx．Ek(t)21mv221m[ωAsin(ωt)]221mω2A2sin2(ωt)21kA2sin2(ωt)．--------（1）dEp(t)fdxkxdxd221kx，Ep(t)21kx2C．将初始条件t0时，xA，Ep(0)21kA2代入上式得：21kA2Ep(0)21kA2C，C0，Ep(t)21kx2C21kx2021kA2cos2(ωt)．----------------------------（2）E(t)Ep(t)Ek(t)21kA2cos2(ωt)21kA2sin2(ωt)21kA2常数．------------------------（3）设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系（设为小车，见图1）刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当t0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动．直觉判断：因为小球在最大位移处以匀速度量值u相对于小车沿x轴负向运动，我们规定此时地面系和小车系的势能相等，所以在小车参照系上观察（即以小车参照系为静止系）时，弹簧振子体系（或小球）的机械能比在地面参照系上观察时，增加21m(u)221mu2，所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系（或小球）的机械能为：E1(t)E(t)21mu221kA221mu2常数．所以，在小车参照系上观察时，弹簧振子体系（或小球）的机械能守恒，守恒值为21kA221mu2,这里采用特殊点判断，下面给出一般证明.○○小车uv墙Fo图1弹簧振动振子机械能守恒问题新解光滑水平地面xmx•第3页共6页数学推导：设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为x1，v1，a1，f1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t)．则有：x1xutAcos(ωt)ut，v1txdd1ωAsin(ωt)u，a1tdd1vω2Acos(ωt)a，f1ma1mamω2Acos(ωt)kx．（说明：f1≠kx1，胡克定律不具有伽利略变换的不变性，胡克定律不是牛顿定律的推论，不代表经典力学不满足力学相对性原理）E1k(t)21m21v21m[ωAsin(ωt)u]221m[ω2A2sin2(ωt)2ωuAsin(ωt)u2]21kA2sin2(ωt)mωuAsin(ωt)21mu2．--------------------（4）dE1p(t)f1dx1kxd(xut)kxdxkuAcos(ωt)dtd)sin(212tωuAωmkx，E1p(t)21kx2mωuAsin(ωt)C．将初始条件t0时x1xA，E1p(0)Ep(0)21kA2，代入上式得：21kA2E1p(0)21kA2mωuAsin(ω0)C，C0，E1p(t)21kx2mωuAsin(ωt)C21kx2mωuAsin(ωt)021kx2mωuAsin(ωt)221cos2kAωtmωuAsin(ωt)．------------------------（5），因此势能是时间t的一元函数.E1(t)E1p(t)E1k(t)21kx2mωuAsin(ωt)21kA2sin2(ωt)mωuAsin(ωt)21mu221kA2cos2(ωt)21kA2sin2(ωt)21mu221kA221mu2常数．-------------（6）所以，在小车参照系上观察时，弹簧振子体系（或小球）的机械能仍然守恒，守恒值为21kA221mu2．[12]当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.有人认为我们的计算忽略了墙壁的作用，这是一种误解，根据轻质弹簧的性质定理，考虑小球（振子）对于弹簧的作用力时考虑弹簧的一端受力，劲度系数用k计算，如果考虑到墙壁的作用，此时是利用弹簧的两端受力，是两个弹簧的串联，劲度系数用2k.下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力，劲度系数依然按照k计算的错误——假设墙壁的作用力单独改变振子的机械能，与振子的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当振子运动到最大位移处，振子对于弹簧的拉力F=kA.对于小车系，测量的力也是F=kA，墙壁的拉力是F1=-kA，如果此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,弹性势能是地面系的4倍，这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量，第4页共6页弹性势能也不是伽利略变换的不变量,这实际是处于自相矛盾的处境.从上述推导可以看出两点：当u≠0，只有ωtnπ，nN时才有：Ep(t)Ep1(t)；当u=0时，二者显然相等，这也符合玻尔的对应原理．在分析这个问题时不能在地面系用外势能机械能守恒定律（把地球质量认为充分大），在小车系用内势能机械能守恒定律（把地球质量视为有限值），考虑地球受到的惯性力，前后不自洽.因为力具有伽利略变换的不变性，在两个不同的惯性系中质点受到的合力是不变的，所以如果在一个惯性系中机械能守恒，在另一个惯性系中机械能也一定守恒.因为只有非保守力做功，才使机械能发生变化.[13]解法2：在地面系——Ek(t)21mv（t）221kA2sin2(ωt),（1）Ep(t)21kx2=21kA2cos2(ωt),（2）E(t)Ep(t)Ek(t)21kA2cos2(ωt)21kA2sin2(ωt)21kA2常数．（3）在小车系——E′k(t)21m2v21m（vu）221mv2mv.u21mu2（E′p=0dEx′P=0xfdx0xfdx0tfudt21kx20tmdvudtdt21kx2mv.u（5）E′p(t)Ek′(t)21m2tv+21kx2+21mu2=E+21mu2=E′（6）式（3）和式（6）比较可见，弹簧振子(质点)机械能守恒定律在各惯性系都成立.经典弹性势能公式的局限性分析Ep1(t)221cos2kAωtmωuAsin(ωt)=21kx2mωuAsin(ωt)应该是弹簧振子中弹性势能的一般公式，没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例——观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0（相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上匀速运动），不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算(重力势能和万有引力引力势能也存在类似问题，不必记忆公式)，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性，这是经典力学在公理化的过程中向前迈进的一小步.周衍柏《理论力学教程》（1979年第一版，人民教育出版社）第47页“由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能.”这里势能应该是指内势能，具有伽利略变换的不变性，在外势能中如果二者质量差别极大