尺规作图资料(完整)

1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10：单尺作出正方形11：单尺作出正六边形12：单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18：单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22：单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（PierreLaurentWantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（FerdinandLindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家UnderwoodDudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得ABBCCA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？nmBAGFEDOC2C1nmBA【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.【解析】⑴作两条公路夹角的平分线OD或OE；⑵作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点1C，2C就是发射塔的位置.【例2】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线3yx上求一点P，使AOP是等腰三角形，这样的P点有几个？P3P2P1AOyxy=x+3【解析】首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在3yx上；二是AOP必须是等腰三角形.其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OAOP时，以O点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点1P、2P；当OAAP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当POPA时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点3P，所以总计这样的P点有3个.【例3】设O⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r的圆，使其与O⊙及'O⊙外切.R'RO'OrrDCM2M1BArOO'RR'r【分析】设M⊙是符合条件的圆，即其半径为r，并与O⊙及'O⊙外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以O为圆心以Rr为半径的圆上，又在以'O为圆心以'Rr为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O⊙与'O⊙相距为b，当2rb时，该题无解，当2rb有唯一解；当2rb时，有两解.【解析】以当O⊙与'O⊙相距为b，2rb时为例：⑴作线段OARr，''OBRr.⑵分别以O，'O为圆心，以Rr，'Rr为半径作圆，两圆交于12,MM两点.⑶连接1OM，2OM，分别交以R为半径的O⊙于D、C两点.⑷分别以12MM，为圆心，以r为半径作圆.∴12,MM⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r()rR的圆，使其与O⊙内切，与'O⊙外切.”又该怎么作图？⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.可算出其内接正方形边长为2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度.六等分圆周时会出现一个3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就出来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为3.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为3的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是2.）⑷以2的长度等分圆周就可以啦！【例5】求作一正方形，使其面积等于已知ABC的面积.【分析】设ABC的底边长为a，高为h，关键是在于求出正方形的边长x，使得212xah，所以x是12a与h的比例中项.【解析】已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h，求作：正方形DEFG，使得：ABCDEFGSS正方形haDCBAOGFEDNM作法：⑴作线段12MDa；⑵在MD的延长线上取一点N，使得DNh；⑶取MN中点O，以O为圆心，OM为半径作O⊙；⑷过D作DEMN，交O⊙于E，⑸以DE为一边作正方形DEFG.正方形DEFG即为所求.【例6】在已知直线l上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O⊙的切线，其切线长为a.arOlBAM2M1lOr【分析】先利用代数方法求出点M与圆心O的距离d，再以O为圆心，d为半径作圆，此圆与直线l的交点即为所求.【解析】⑴作RtOAB，使得：90A，OAr，ABa.⑵以O为圆心，OB为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点1M，2M.1M，2M即为所求.若此圆与直线l相切，此时只有一个交点M.M即为所求.若此圆与直线l相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O⊙的切线，其切线长为a.⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】已知：直线a、b、c，且abc∥∥.求作：正ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.cbaD'DCBAcba【分析】假设ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作ADb于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于'ACD的位置，此时点'D的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作60BAC，B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】作法：⑴在直线a上取一点A，过A作ADb于点D；⑵以AD为一边作正三角形'ADD；⑶过'D作''DCAD，交直线c于C；⑷以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B(使B与'D在AC异侧).⑸连接AB、AC、BC得ABC.ABC即为所求.【例8】已知：如图，P为AOB角平分线OM上一点.求作：PCD，使得90P，PCPD，且C在OA上，D在OB上.PMOBAlD'C'M'ECDPMOBA【解析】⑴过P作PEOB于E.⑵过P作直线lOB∥;⑶在直线l上取一点M，使得PMPE(或'PMPE)；⑷过M(或'M)作MCl（或'MCl），交OA于C(或'C)点；⑸连接PC(或'PC)，过P作PDPC(或''PDPC)交OB于D（或'D）点.连接,PDCD(或',''PDCD).则PCD(或''PCD)即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】已知：一锐角ABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.CBAG'F'E'D'GFEDCBA【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作出与正方形DEFG位似的正方形''''DEFG，然后利用位似变换将正方形''''DEFG放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG.【解析】作法：⑴在AB边上任取一点'G，过'G作''GDBC于'D⑵以''GD为一边作正方形''''DEFG，且使'E在'BD的延长线上.⑶作直线'BF交AC于F.⑷过F分别作''FGFG∥交AB于G；作''FEFE∥交BC于E.⑸过G作''GDG