微分几何B试题

《微分几何》考试模拟卷（A卷）一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换()2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0uvduuvdudvuvdv总表示曲面上两族曲线.()4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的()5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里F是第一基本量().二、填空题（每小题3分，共15分）1.半径为R的圆的曲率为_________.2.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,3.坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________.4.在脐点处曲面的第一,第二类基本量满足____________________,5.使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分）1.已知空间正则参数曲线32(){cos,sin,cos2}rtttt(1)求基本向量,,.(2)求()rt的曲率和挠率(0)2t.2、求抛物面22()zaxy在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.3、设一个曲面的第一基本形式为22222(),dsduuadv求它上面两条曲线0,0uvuv的交角.4.确定螺旋面cos,sin,ruvuvcv上的曲率线。五、证明题((每小题各9分，共27分)1.证明挠曲线(0的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.证：主法线曲面方程为(,)()()svrsvs，是直纹面又因为,,(,,)(,,)rk有已知0，所以,,(,,)0r，有定义知此直纹面是不可展曲面。2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这曲线是直线或平面曲线.证：设所给的常向量为0e，则e。所以0e，两边对s求微商得0e，即0ke。若0k，则曲线是直线。若0e，则e，于是0e，0,0kekee，由于0e，所以有0e。由,ee可知e，从而0e，所以0，即曲线为平面直线3、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。