微积分(下)习题1

第1页共4页《微积分(下)》习题1第一部分一、单项选择题1.设)(xf为已知函数,则方程)()()(xfxfxfyy的通解为（）。A.1)()(xfeyxfB.1)()(xfCeyxfC.1)()(xfCeyxfD.1)()(xfCeyxf2.设线性无关的函数321,,yyy都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy的解,21,cc是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）。A.32211yycycB.3212211)(yccycycC.3212211)1(yccycycD.3212211)1(yccycyc3.1122lim222200yxyxyx（）。A.1B.2C.0D.-14.设),)(cossin(2121为任意常数CCxCxCeyx为某二阶常系数线性其次微分方程的通解，则该方程为（）。A.0yyyB.022yyyC.022yyyD.022yyy5.设xxexey)1(2是二阶常系数线性微分方程xeyyy的一个特解，则222=（）。A.10B.14C.11D.126．函数22yxz在点)2,1(P处的梯度为（）。A.)4,2(B.)2,1(C.yx22D.67.函数2332yxyxz在点)1,1(处的全微分)1,1(dz（）。第2页共4页A.dydx52B.dydx57C.dydx2D.dydx8.设质点沿曲线L从起点移动到终点，则变力jyxQiyxPyxF),(),(),(所作的功为（）。A.LdsyxP),(B.LdsyxQ),(C.LPdyQdxD.LQdyPdx9.在空间直角坐标系中，点(1,3,1)A关于yoz面对称的点是（）。A.(1,3,1)B.(1,3,1)C.(1,3,1)D.(1,3,1)10.已知二元函数2223xyyxz，则yxz2（）。A.yx46B.x2C.y2D.xy11.1100(,)xdxfxydy（）。A.1100(,)xdyfxydxB.1100(,)xdyfxydxC.1100(,)ydyfyxdxD.1100(,)ydyfxydx12.xbaxfbaxfx),(),(lim0（）。A.),(2bafxB.),(21bafxC.),(bafxD.不一定存在13.已知2()()xaydxydyxy为某函数的全微分，则a（）。A.2B.1C.0D.114.设22()DIxydxdy,其中D由222xya所围成,则I（）。第3页共4页A.22400adardraB.422002aadrrdrC.3220023aadrdrD.224002adaadra15.可使22uxyxy成立的函数是（）。A.2212uxyxyB.22152xyuxyxyeeC.22152xyuxyxyeD.22152xyuxyxyee二、判断题1.极限Ayxfyx),(lim的精确含义是：对任意给定的正数，总存在正数M，使当MyMx,时，不等式Ayxf),(恒成立。（）2.在对弧长的曲线积分计算时，当曲线L关于x轴对称，1L是L当0y的部分时，若),,(),(yxfyxf则LLdsyxfdsyxf1),(2),(。（）3.函数(,)fxy在点00(,)xy处两个偏导数0000(,),(,)xyfxyfxy存在是(,)fxy在该点连续的既非充分又非必要条件。（）4.G为单连通区域，则曲线积分LdyyxQdxyxP),(),(在G内与路径无关的充要条件是yPxG在G内恒成立。（）5.设函数(,)zfxy在点00(,)xy处可微，且0000(,)(,)0xyfxyfxy，则函数(,)fxy在00(,)xy处必有极值，可能是极大值，也可能是极小值。（）三、求方向导数求函数22),(yxyxyxf在点(1,1)沿与x轴方向转角为的方向l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？四、定积分应用计算Ddxy)(2，其中D是2xy与1y所围区域.第4页共4页第一部分参考答案一、单项选择题题号12345678910答案DDBCBACDCA题号1112131415答案CDABB二、判断题题号12345答案TFTFF三、求方向导数求函数22),(yxyxyxf在点(1,1)沿与x轴方向转角为的方向l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解：),2(yxfx)2(xyfy由方向导数的计算公式知：sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos),4sin(2（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.四、定积分应用计算Ddxy)(2，其中D是2xy与1y所围区域.解：积分区域D为图中3D所示：第5页共4页1211223)()(xDdyxydxdxy111222|]2[dxyxyx1124]212[dxxx1024]21[dxxx1035|]325[xxx.1582xy1D2D3D2xy第6页共4页第二部分一、判断题1.微分方程的通解包含了方程的一切解。（）2.二元函数在(x0,y0)处可微，则函数在(x0,y0)处的偏导数存在。（）3.如果二元函数沿着无穷多个方向趋于定点时，极限值一定存在。（）4.积分LdyyxQdxyxP)),(),((与路径无关的充要条件是yQxP。（）5.具有偏导数的二元函数的极值点一定是驻点。（）二、单项选择题1．点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）。A.6B.2C.3D.22.下列向量的运算式中总成立的是（）。A.)()(cbacbaB.)()(cbacbaC.)()(cbacbaD.若caba，则必有cb3．函数yxyxz233在点)1,1(处的全微分)1,1(dz（）。A.dydx52B.dydx57C.dydx2D.dydx4.函数22yxz在点)2,1(P处的梯度为（）。A.)4,2(B.)2,1(C.yx22D.65.设质点沿曲线L从起点移动到终点，则变力jyxQiyxPyxF),(),(),(所作的功为（）。A.LdsyxP),(B.LdsyxQ),(C.LPdyQdxD.LQdyPdx6.在空间直角坐标系中，点)1,3,1（A关于yoz面对称的点是（）。第7页共4页A.)1,3,1（B.)1,3,1（C.)1,3,1（D.)1,3,1（7.球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在平面xoy上的投影为（）。A.x2+(y-1)2=9B.x2+(y-1)2=5C.x2+(y-1)2≤9D.x2+(y-1)2≤58.11lim222200yxyxyx（）。A.1B.2C.0D.-19.已知二元函数22xyyxz，则yxz2（）。A.yx22B.x2C.y2D.xy10.设xuyvxuyxvu则010的值为（）。A.xyxvB.xyyvC.xyyuD.xyxu11.设D:122yx，1D:0,122yyx，则1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf成立的充分条件为（）。A.),(),(yxfyxfB.),(),(yxfyxfC.),(),(yxfyxfD.),(),(yxfyxf12.交换二次积分的积分次序，1001xy)dyf(x,dx=（）。A.01x10y)dxf(x,dyB.011y1y)dxf(x,dyC.01y10y)dxf(x,dyD.010y1y)dxf(x,dy13.设fbyaxfz),(可微，则（）。A．yzbxzaB．yzaxzb第8页共4页C．yzxzD．yzxz14.设DxyyxdI16222，20,10yx,则I满足（）。A.4252IB.32IC.210ID.01I15.设L为椭圆13422yx,设椭圆的周长为l,则Ldsyx)43(22为（）。A.l6B.l4C.l3D.l12三、求切平面与法线方程求曲面32xyezz在)0,2,1(处的切平面及法线方程。四、定积分应用题计算积分Ddxdyyx)(2，其中积分区域D由抛物线2xy和2yx围成。第二部分参考答案一、判断题题号12345答案FTFFT二、单项选择题题号12345678910答案ACAADCCBAC题号1112131415答案BCBAD第9页共4页三、求切平面与法线方程求曲面32xyezz在)0,2,1(处的切平面及法线方程.解：令,32),,(xyezzyxFz则,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF即曲面在点)0,2,1(处的法向量为)0,2,1(|),,(zyxFFFn)0,2,4(|)1,2,2()0,2,1(zexy所以切平面方程为,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx法线方程为.001221zyx四、定积分应用题计算积分Ddxdyyx)(2，其中积分区域D由抛物线2xy和2yx围成.解：如下图所示，解方程组求两条曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdx第10页共4页dxyyxxx2|]2[1022dxxxxxx)](21)([42102dxxxx10425]223[102527|]410372[xxx.14033