微积分2(多元微积分)实验积分与多元函数

实验６积分与多元函数数学学院数学史上的微积分进程•微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。•它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。•微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。•积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分（Calculus）•微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。•微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。微积分的发现•公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。近代的发展•到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。名字序列•十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。•十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。•在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……•微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。成功的造就了近代工业文明和列强。我们需要努力•知道我们有多落后，知耻而后勇。•知道它，理解它，学会它，用它。站在巨人肩上再向前看。•知道原理，然后用工具进行计算，为工程服务。1.学习用软件求一元函数积分的方法；2.从几何图形上直观理解定积分的定义；3.学习用软件解决定积分应用问题；4.学习用软件求解多元函数的导数；5.学习用软件求解二元函数的极值，并将二元函数可视化；6.会用软件解决积分的应用问题；7.学习用软件计算二重积分，三重积分；8.会用软件描绘空间区域及其投影；9.会用软件解决重积分应用问题；10.学习用软件计算曲线积分；11.学习用软件计算曲面积分；12.学习用软件解决曲线积分和曲面积分的应用问题；实验目的积分表6-1int函数表命令功能描述备注int(f)求f关于默认变量的不定积分f为符号表达式或字符串表达式（下同）int(f,t)求f关于变量t的不定积分int(f,a,b)求f关于默认变量由a到b的定积分a,b为数值常数int(f,t,a,b)求f关于变量t由a到b的定积分a,b为数值常数int(f,'m','n')求f关于默认变量由m到n的定积分m,n为符号常量举例)3cos(txf[例6-1]设函数，分别对变量xt，进行积分。【求解】这里，x可以认为是默认的变量，而对t的积分就一定要指明积分变量。编写myint01.m文件，内容如下：clearclcsymsxtklf=cos(3*x+t);I1=int(f)%求不定积分I2=int(f,t)%对t求不定积分I3=int(f,0,pi/2)%求定积分I3=eval(I3)%转化求值I4=int(f,t,0,pi/2)%求定积分I5=int(f,'m','n')%求定积分I6=int(f,k,l)%求定积分举例[例6-2]计算广义积分21xdx【求解】编写myint02.m文件，内容如下：clearclcf='1/(1+x^2)';%定义字符串表达式I=int(f,-inf,inf)%代入字串表达式，求广义定积分举例dxxex02121[例6-3]计算积分【求解】编写myint03.m文件，内容如下：clearclcf='exp(-x)*x^(-1/2)';%定义字串表达式gamma=int(f,0,inf)%求定积分举例[例6-4]求变上、下限积分的导数dttdxdxxcossin2)cos(【求解】编写myint04.m文件，内容如下：clearclcsymsxt%定义变量f=cos(pi*t^2);%定义函数F=diff(int(f,sin(x),cos(x)))%先求积，再求导pretty(F)%美化格式显示举例[例6-5]求变上限积分的极限xdttxx020coslim【求解】编写myint05.m文件，内容如下：clearclcsymsxt%定义变量f=cos(t^2);%定义函数I=limit(int(f,0,x)/x)%先求积分，再求极限注意事项•被积函数表达式•积分上下限的确定•不定积分的常数项•功能函数的嵌套调用格式积分在定义上的几何意义•交互式近似黎曼求和函数rsums可以给我们很形象的演示积分在定义上的几何意义：无限分割再逼近。表6-2rsums函数表命令功能描述说明rums('f')计算f在区间[0,1]上的近似积分该命令展示积分定义上的几何意义注：rsums命令将[0，1]区间分割成10个等分子区间，界面上方为被积函数与小矩形面积的累加和，向右拉动界面下方的滑动键，分割越细，小矩形越多，而矩形面积和就越接近曲边梯形的面积，即累加和越接近于积分准确值。积分限代换badttfS)(xabat)(10))(()(dxxabafabS而在计算的近似值需作变换，于是使得积分区间，即积分上下限满足黎曼求和函数的近似积分区间要求。[例6-7]利用rsums命令求积分112dteSt的近似值，并观察定积分定义的几何意义。【求解】编写myrsums01.m文件，内容如下：clearclcsymsxut%定义变量f=exp(-t^2);%定义函数s=eval(int(f,-1,1))%求定积分，并转化为数值a=-1;b=1;u=a+(b-a)*x;%自变量换元rsums(subs(f,u)*(b-a))%元素替换后，黎曼求和函数模拟定积分应用实例•平面图形的面积•体积•曲线的弧长•实际领域的中的微元法yx8216642xy[例6-8]抛物线与箕舌线所围图形的面积。【求解】分析，先求两曲线的交点1664822xyyx，然后作图观察，确定积分上下限；最后积分求面积。•解题步骤：1.作图2.确定积分限3.积分求解编写myint07.m文件[例6-9]计算心形线)0()cos1(aar所围成图形的面积。【求解】面积即定积分：20221drS编写myint08.m文件，内容如下：clearclca=1;%不妨取a=1作图t=0:pi/20:2*pi;%生成作图数据r=a*(1-cos(t));%生成作图数据polar(t,r)%极坐标作图symsat%定义变量r=a*(1-cos(t));%定义函数s=int(r^2,t,0,2*pi)/2%积分定积分的应用•解积分模型的应用问题6-12等•求解实际问题的步骤：1.提出问题，即题目本身；2.分析问题，建数学模型（这里肯定是积分模型）；3.对模型求解；4.回到实际问题，作出合理解答。多元函数偏导与全微分表6-3diff函数表命令功能diff(z,x)求函数z对x的偏导数diff(z,x,n)求函数z对x的n阶偏导数，n为整数diff(diff(z,x),y)先求函数z对x的偏导数，再对y求二阶的混合偏导数22444yxyxzyxzyzxz22222,,[例6-14]设，求【求解】编写mypdiff01.m文件，内容如下：clearclcsymsxyz=x^4+y^4-4*x^2*y^2;%定义表达式zxx=diff(z,x,2)%求2阶偏导zyy=diff(z,y,2)zxy=diff(diff(z,x),y)%求混合2阶偏导[例6-16]计算函数yzeyxu2sin的全微分。【求解】编写mypdiff03.m文件，内容如下：clearclcsymsxyzu=x+sin(y/2)+exp(y*z);%定义表达式du=diff(u,x)*'dx'+diff(u,y)*'dy'+diff(u,z)*'dz'%写成全微分形式du=dx+(1/2*cos(1/2*y)+z*exp(y*z))*dy+y*exp(y*z)*dz结果：dzyedyzeydxduyzyz2cos21这里，全微分只是个形式。即表示成全微分的形式。多元微积分的应用•几何学，求曲线方程，曲面方程等•多元极值，如二元函数极值等•近似计算•梯度计算二元极值•无条件极值：通过二阶偏导和混合偏导组成的判别式来确定。diff等，也叫判定定理法。•条件极值：如拉格朗日数值法，解方程得解solve等。•matlab给我们提供了fminsearch函数表6-4fminsearch函数表命令功能描述[x,fmin]=fminsearch(f,x0)单纯形法，以x0为初始搜索点，x是极小值点，fmin是极小值,x0可以是一个标量，向量或矩阵[x,fmin]=fminunc(f,x0)拟牛顿法注：f为字符串，内联函数，M函数文件，自变量必须写成x(1),x(2),…。二重积分maxminmaxmin),(),(xxyyDdyyxfdxdyxfmaxminmaxmin)sin,cos(),(rrDrdrrrfddyxf求解二重积分的方法是把二重积先转成二次积分，然后用int命令完成计算求值。1.在直角坐标下化为二次积分2.在极坐标下化为二次积分3.二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积。三重积分maxminmaxminmaxmin),,(),,(zzyyxxdzzyxfdydxdvzyxfzzryrxsincosmaxminmaxminmaxmin),sin,cos(),,(zzrrDrdzzrrfdrddvzyxfcoscossincossinrzryrxmaxmin2maxminmaxminsin)cos,cossin,cossin(),,(rrdrrrrrfdddvzyxf与求解二重积分的方法一样，我们是把三重积先转成三次积分，然后用int命令完成计算求值。1.在直角坐标下化为三次积分2.在柱面坐标下化为三次积分3.在球面坐标下化为三次积分maxminmaxmin),(),(xxyyDdyyxfdxdyxf二重积分表达式：maxminmaxminmaxmin),,(),,(zzyyxxdzzyxfdydxdvzyxf三重积分表达式：求解命令：int(int(int(f,z,zmin,zmax),y,ymin,ymax),x,xmin,xmax)求解命令：int(int(f,y,ymin,ym