微积分A2(第七章第123节)

第七章多元函数微分法及其应用一、n维空间与多元函数R—实数的全体(集合)1R—数轴上点(实数)的集合2R—二元有序数组(x,y)的集合3R—三元有序数组(x,y,z)的集合nR—n元有序数组的集合),,,(21nxxx上点的坐标x上点的坐标(x,y)上点的坐标(x,y,z)上点的坐标),,,(21nxxx——一维空间——二维空间——三维空间——n维空间1R2R3RnR§1.多元函数的基本概念22),(RDyxP点zyxf),(:yxf:33),,(RDzyxP点uzyxf),,(:……nnnRDxxxP),,,(21点uxxxfn),,,(:2111)(RDxP点一元函数二元函数三元函数n元函数二元与二元以上的函数统称为多元函数。)(xfy)(),(Pfyxfz)(),,(Pfzyxfu)(),,,(21Pfxxxfun二元函数的定义回忆y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是设x和y是两个变量。D是一个给定的数集，若对于每个数Dx，变量).(xfyx的函数，记作}),(),,({DyxyxfzzW点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.定义1设D是平面上的一个点集，如果对于每个点,),(DyxP变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x，y的二元函数，记为),,(yxfz或记为).(Pfz当2n时，n元函数统称为多元函数.对应地，函数)(xfy称为一元函数.类似地可定义三元及三元以上函数．}),(),,({DyxyxfzzW点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.).,(),,(yxzyxzzyxz的函数也可记为、是函数的两个要素:定义域、对应法则.定义1设D是平面上的一个点集，如果对于每个点,),(DyxP变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x，y的二元函数，记为),,(yxfz或记为).(Pfzx二、多元函数的定义域在一维空间上，1．邻域}{0xxx在二维空间上，邻域是的点)(00xP邻域是的点),(000yxP}),({0PPyxP})()(),({2020yyxxyx(.)x00x0xy0x0xyP0),(ˆ0PU})()(0),({2020yyxxyx),(0xU),(0PU去心邻域是的点),(000yxP2．区域（内点、边界点、聚点、边界、连通集、开集、闭集、有界点集）设E是平面上的一个点集，对点P，若存在,),(EPU则称P为E的内点。若E中的点都为内点，}4),({221yxyxE例：.PE0xy2则称E为开集。若点集E的余集Ec为开集，则称E为闭集。开集若点P的任一邻域内，既含有属于E的点,又含有不属于E的点,则称P为E的边界点。满足x2+y2=4的点(x,y)02xyE·P}4),({:221yxyxE例都为边界点。1E边界点的全体称为E的边界。的边界。为曲线1224EyxE的边界点可能属于E，也可能不属于E。若点P的任一去心邻域),(ˆPU内总有E中的点，则称P是E的聚点。}4),({:221yxyxE例满足x2+y2=4的点(x,y)02xy1E都是E1聚点。点集E的聚点P可以属于E,也可以不属于E.若开集E中任意两点都可用全落在E中的折线连接起来，则称E为连通集。P1P2P1P2（单连通）（多连通）连通的开集称为区域或开区域。如}4),({221yxyxE区域+边界称为闭区域。}4),({22yxyx如EE上述的所有概念可以类似推广到n维空间上。区域),,(),(rOUErOU，使点集若则称E为有界点集，否则称为无界点集。有界区域：即区域E能被包含在一个以原点为中心，r为半径的圆内。Er二元函数的定义域D2是平面上的一个区域；三元函数的定义域D3是(三维)空间的一个区域；n元函数的定义域Dn是n维空间的一个区域。有界点集：否则称为无界区域。与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点的集合。例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD例2:求下列函数的定义域yxz)1(解：xy0解：x+y≥0x+y=0x+y0xy0)(ln)2(yxz}0|),{(yxyx}0|),{(yxyx无界二元函数的图形),(yxfz（如下页图）设函数z=f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的,),(DyxP对应的函数值为z=f(x,y)。以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z),当(x,y)取遍D上一切点时，得一个空间点集,}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形。二元函数的图形通常是一张曲面.xyzsin例如,图形如右.2222azyx例如,球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:xyzo例1：).,(,),(yxyxfuvufv求若例2：).,(,),(22yxfyxxyyxf求若解：)(),(yxyxyxf,,vxyuyx设解：.yx则可解得,1vux,1vuvy所以22)1()1(),(vuvvuvufvvu1)1(2yyxyxf1)1(),(2即三、二元函数的极限与连续性定义1设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式20200)()(0yyxxPP的一切点P(x,y)∈D,都有Ayxf),(则称常数A为f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的极限,),(lim00Ayxfyyxx)(,)0(),(0PPAyxf或,),(lim),(),(00Ayxfyxyx或成立，（又称二重极限），记作定义2设函数f(x,y)的定义域为D，),(),(lim0000yxfyxfyyxx)()(lim00PfPfPP则称函数f(x,y)在P0(x0,y0)点连续。即P0(x0,y0)∈D且是D的聚点，如果若f(x,y)在D内的每一点连续，则称f(x,y)在D内连续，或称f(x,y)是D内的连续函数。问题1.二元函数与一元函数的极限定义是否一样？不同在何处？2.二元函数与一元函数的连续概念是否一样？它们的间断点有何不同？;),(,)()(0,0,02020Ayxfyyxx有时当存在对任意的;)(,0,0,00Axfxx有时当存在对任意的当P→P0时，函数值与极限值的距离可以对一元：对二元：1、极限定义的相同之处：无限接近于零。即二元和一元函数一样，在某点是否有极限，与在该点是否有定义无关；二元和一元函数的极限运算法则完全类似，可以照搬。不同之处：一元：当x→x0时,只在x轴上变化，;,00xxxx二元：),,(),(000yxPyxP当PP0正是这，导致了多元函数的极限与一元函数的不同。必须特别注意！xy特殊的有P有无数条路径通往P0，xx0只有当P(x,y)无论以何种方式→P0(x0,y0)时，2,)(lim0DPAPfPP,),(lim),(),(00Ayxfyxyx或称A为z=f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)时的二重极限。称A为z=f(x,y)的二次极限。一般地，二重极限≠二次极限Ayxfyy),(lim0与0limxxAyxfyy),(lim0而0limxxf(x,y)都趋向于A，才能说当P→P0时，f(x,y)以A为极限，记为Ayxfyyxx),(lim00或一般地，二重极限≠二次极限,1sin),(yxyxf例如：,01sinlim),(lim)0,0(),()0,0(),(yxyxfyxyx显然,1sinlim),(lim00不存在但是因为yxyxfyy.),(limlim00也不存在所以yxfyx仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx,0但由后面的例2知它在(0,0)点二重极限不存在.(2)找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法(1)如P(x,y)以某种特殊方式→P0(x0,y0)时，f(x,y)的极限不存在，此时可断言f(x,y)在P0(x0,y0)处的极限不存在；例1求证证.01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx.01sin)(2222yxyx原结论成立．例20,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)处的极限。(即(x,y)=(0,0)时)若(x,y)沿x轴趋向(0,0)220)0,0(),(limyxxyyyx解:),(lim)0,0(),(yxfyx考察函数即考察,0若(x,y)沿y轴趋向(0,0)220)0,0(),(limyxxyxyx,0(即(x,y)=(0,0)时)选路径y=kx,22)0,0(),(limyxxykxyyx显然,极限值随k的不同而不同,不存在22)0,0(),(limyxyxyx即D内任一点(x,y)沿直线y=kx→(0,0)201limkkx220)(limkxxkxxxxy.(x,y).(x,y)D.12kk例3.求xyxyxsinlim)3,0(),(xyxyxsinlim)3,0(),(原式解:例4.求11lim00yxyxyx解一:11lim00yxyxyxyxyx00lim解二:331yyyxyxyxyx)11(lim00,211lim00yxyxyx2yx.2例5.||||lim22)0,0(),(yxyxyx解：||||022yxyx||||22yyxx0||||lim22)0,0(),(yxyxyx)0,0(),(yx0||||yx||||||||22yxyyxx2、连续概念的相同之处：不同之处：f(x)的图形是一条连绵不断的曲线，f(x,y)的图形是一个无孔隙、无裂缝，如不连续，其间断点是一些孤立的点。如不连续其间断点可以是一些孤立的点，也完整无缺的曲面。一元：二元：极限值等于函数值。可以连成一条曲线（间断线）。如:(1)前例1中0,00,),(222222yxyxyxyxyxf不存在，),(lim)0,0(),(yxfyx∴(0,0)是其一个间断点,即f(x,y)在(0,0)处不连续。(2),12yxz无定义，02yx(3),11222zyxu无定义，1222zyx为间断面。球面1222zyx为间断线。xy2多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：)()()(lim0