微积分基本概念

第1页共26页浙江博成教育微积分基本概念第一章函数、极限连续重点：函数性质与函数的图形函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.一、函数（一）函数的概念1．函数的定义【定义1.1】设在某一变化过程中有两个变量x和y,若对非空集合D中的每一点x,都按照某一对应规则f,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数,记作.),(Dxxfyx称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域,y的取值范围即集合Dxxfyy),(|称为函数的值域.xoy平面上点的集合Dxxfyyx),(|),(称为函数)(xfy的图形.定义域D(或记fD)与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.2．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.3．函数定义域的求法由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.（二）函数的几何特性1．单调性（1）【定义1.2】设函数)(xf在实数集D上有定义,对于D内任意两点21,xx,当1x＜2x时,若总有)(1xf≤)(2xf成立,则称Dxf在)(内单调递增（或单增）；若总有)(1xf＜)(2xf成立,则称)(xf在D内严格单增,严格单增也是单增.当)(xf在D内单调递增时,又称Dxf是)(内的单调递增函数.类似可以定义单调递减或严格单减.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.2．有界性【定义1.3】设函数内有定义在集合Dxf)(,若存在实数M＞0,使得对任意Dx,都有|)(|xf≤M,则称)(xf在D内有界,或称)(xf为D内的有界函数.【定义1.4】设函数内有定义在集合Dxf)(,若对任意的实数M＞0,总可以找到一Dx,使得|)(|xf＞M,则称)(xf在D内无界,或称)(xf为D内的无界函数.有界函数的图形完全落在两条平行于x轴的直线之间.第2页共26页浙江博成教育函数是否有界与定义域有关,如nxy1（0,+∞）上无界,但在[1,e]上是有界的.有界函数的界是不惟一的,即若对任意Dx,都有|()|fx≤M,则也一定有|)(|xf≤)0,0(aMaM.3．奇偶性【定义1.5】设函数)(xf在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意Dx,都有))()()(()(xfxfxfxf或,则称)(xf为D内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(xf为连续的函数时,)(xf=0,即)(xf的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21xfxf为奇函数,)(),(21ygxg为偶函数,则)()(21xfxf为奇函数；)()(21xgxg为偶函数；)()(11xgxf非奇偶函数；)()(11xgxf为奇函数；)()(),()(2121xgxgxfxf均为偶函数.常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.【例】判断下列函数的奇偶性:(1)21)(1)(xxnxf;(2).0,1,0,1)(xexexgxx【解】(1)因为)1(1)(1(1)(22xxnxxnxf22221111)1)(1(1xxnxxxxxxn),()1(12xfxxn所以)1(1)(2xxnxf是奇函数.(2)因为)(0,10,10,10,1)()(xgxexexexexgxxxx4．周期性【定义1.6】设函数内有定义在集合Ddxf)(,如果存在非零常数T,使得对任意Dx,恒有)()(xfTxf成立,则称)(xf为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(xf的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][xxy是以1为周期的周期函数.][xy与][xxy的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.图1-1第3页共26页浙江博成教育（三）初等函数1．基本初等函数（1）常数函数Cy,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为c.（2）幂函数xy,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a）(b)图1-2（3）指数函数)1,0(xy,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜＜1时,函数严格单调递减.当＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e为底的指数函数,即xey（图1-3）（4）对数函数)1,0(logxy,其定义域为（1,+∞）,它与xy互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作nxy1,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3)(图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设fbaxbaxf),,(,),()(对任意区间内二阶可导在″)(x＜0.则(1)f′)(x在),(ba内严格单调减少；（2）)(xf在),1(b上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4xy为凸弧.y′=34x在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y″=-122x≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f″)(x≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数第4页共26页浙江博成教育【定义1.7】设函数)(xfy的定义域为D,值域为R,如果对于每一个Ry,都有惟一确定的Dx与之对应,且满足)(xfyx是一个定义在R以y为自变量的函数,记作.),(1Ryyfx并称其为)(xfy反函数.习惯上用x作自变量,y作因变量,因此)(xfy反函数常记为Rxxfy),(1.函数)(xfy与反函数)(1xfy的图形关于直线xy对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.xyayaxlog与互为反函.xxy,2[0,+∞]的反函数为xy,而xxy,2（－∞,0）的反函数为xy（图1-2（b））.3．复合函数【定义1.8】已知函数ffRyDuufy,),(.又Dxxu),(,uR,若ffRD非空,则称函数fDxxxxfy)(|)],([为函数)()(xuufy与的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y明显地表示成)(xfy的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222xyxnyxy等.设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式0),(yxF表示,如果存在函数)(xfy（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：fDxxfxF,0))(,(其中fD为非空实数集.则称函数)(xfy由方程0),(yxF所确定的一个隐函数.如方程1yx可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即]1,0[,)1()(2xxxfy但并不是所有隐函数都可以用x的显函数形式来表示,如0yxexy因为y我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122yx.（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如.0,1,0,1)(.0,1,0,1)(2xnxxexgxxxxxfx都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）第5页共26页浙江博成教育极限是微积分的基础.（一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如nnaaaa21,称为通项.1．极限定义【定义1.9】设数列na,当项数n无限增大时,若通项na无限接近某个常数A,则称数列na收敛于A,或称A为数列na的极限,记作Aannlim否则称数列na发散或nnalim不存在.2．数列极限性质（1）四则极限性质设byaxnnnnlim,lim,则).0(limlimlim.limlimlim.limlim)(lim.limlimbbayxyxabyxyxbayxyxcaxccxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（2）axaxknnnnlimlim（k为任意正整数）..limlimlim122axxaxnnnnnn（3）若axnnlim,则数列nx是有界数列.（4）夹逼定理设存在正整数0N,使得0Nn时,数列nnnzyx,,满足不等式nnnyxz.若azynnnnlimlim,则axnnlim.利用此定理可以证明重要极限ennn11lim（e2.718,是一个无理数）.（5）单调有界数列必有极限设数列nx有界,且存在正整数0N,使得对任意0Nn都有nnxx1（或nnxx1）,则数列nx的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限ennn11lim（e2.718,是一个无理数）.（二）函数的极限1．x时的极限【定义1.10】设函数)(xf在)0(||aax上有定义,当x时,函数)(xf无限接近常数A,则称)(xf当x时以A为极限,记作.)(limAxfn当x或x时的极限第6页共26页浙江博成教育当x沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记x（x）时,)(xf无限接近常数A,则称)(xf当x（x）时以A为极限,记作.)(lim)(lim)(lim).)(lim()(limAxfAxfAxfAxfAxfnnnnn3．0xx时的极限【定义1.11】设函数)(xf在0x附近（可以不包括0x点）有定义,当x无限接近)(00xxx时,函数)(xf无限接近常数A,则称当0xx时,)(xf以A为极限,记作.)(lim0Axfxx4．左、右极限若当x从0x的左侧（0xx）趋于0x时,)(xf无限接近一个常数A,则称A为0xx时)(xf的左极限,记作.)(lim0Axfxx或Axf)0(0若当x从0x的左侧（0xx）趋于0x时,)(xf无限接近一个常数A,则称A为0xx时)(xf的右极限,记作.)(lim0Axfxx或Axf)0(0.)(lim)(lim)(lim000AxfAxfAxfxxxxxx