微积分课件7.

第7章微分方程微分方程是用来刻画变量以及它们的导数（或微分）之间的关系。“自然的一切结果都只是数目不多的一些不变规律的数学结论。”——拉普拉斯第7.1节微分方程的概念第7.2节一阶微分方程第7.3节二阶微分方程第7.4节Mathematica环境下解微分方程第7章微分方程例物体冷却过程的数学模型实验证明：一块热的物体，其温度下降的速度是与其自身温度及其所在介质的温度的差值成正比关系；同样，一块冷的物体，其温度上升的速度是与其自身温度及其所在介质的温度的差值成正比关系。这就是物理学中的牛顿加热及冷却定律。现有一杯温度为Co100的开水，其周围空气的温度恒为Co20。根据牛顿冷却定律，当开水温度下降时，开水降温的速度也随之减慢，这是因为开水和空气的温度差在逐渐减小，最终冷却的速度趋于零，同时开水的温度也趋于空气的温度，经分析该降温过程可用下图表示。)(时间t）（温度CUo100020第7.1节微分方程的概念一般地，设物体在时刻t的温度为)(tUU，物体所处的介质温度为aU（为常数），温度的变化速度用dtdU来表示。而热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而有温差aUU恒正（aUU）；同时物体将随时间的推移逐渐冷却，故温度变化的速度dtdU恒负，因此由牛顿冷却定律得到物体冷却过程数学模型：)(adtdUUUk其中0k为比例常数，称为冷却系数。1．微分方程及微分方程的阶微分方程一般地，凡表示为未知函数、未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程。常微分方程未知函数为一元函数的方程。偏微分方程未知函数为多元函数（导数为未知函数的偏导数）的方程。一阶微分方程只含有未知函数的一阶导数的方程n阶微分方程未知函数的最高阶导数为n阶的方程，并称方程中未知函数导数的最高阶数n为方程的阶。n阶线性（微分）方程特别地，如果方程左端函数F为)(,,',nyyy的线性函数，则称此方程为，一般形式为)()(')()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn其中)(),(,),(11xaxaxann和)(xf均为自变量x的已知函数。2．微分方程的解方程的解满足微分方程的函数（解微分方程）。一般地，如果函数)(xy满足方程0))(,),('),(,()(xxxxFn则称函数)(xy为这个方程的解。通解含有n（与方程的阶相同）个相互独立的任意常数的方程的解，即),,,,(21ncccxy（nccc,,,21为n个相互独立的任意常数）在通解中，当任意常数nccc,,,21取为确定的值而得到的相应的解，称为方程的一个特解。初始条件确定方程通解中任意常数的具体取值的附加条件。求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为微分方程的初值问题。第7.2节一阶微分方程1．分离变量方程称形如dyygdxxf)()(（1）的一阶微分方程为分离变量方程。对于分离变量方程（1）可通过积分法求解，即在方程（1）的两端分别对变量x和y积分可得Cdyygdxxf)()(（2）其中C为任意常数，则（2）为方程（1）的通解。注：（1）这里规定dxx)(表示函数)(x的某个原函数，而将式（2）中两端不定积分中的任意常数合并在一起，单独写出来记为C；（2）在方程的两端分别对不同的变量进行积分是正确的。例求方程ydyxdx的通解。解此方程为分离变量方程，在方程两边分别对x和y积分得1221221Cyx即1222Cyx，因1C为任意常数，所以记CC12仍为任意常数，便得方程的通解Cyx22.把这种由二元方程确定的隐函数所给出微分方程的解称为方程的隐式解，而直接表示为自变量的函数关系式的微分方程的解称为方程的显式解。2．可分离变量方程称形如)()(yxdxdy（3）或dyyNxNdxyMxM)()()()(2121（4）的一阶微分方程为可分离变量方程。注：与解代数方程相类似，在化可分离变量方程为分离变量方程时，可能会有丢解现象。实际上我们可以验证：（1）如果常数0y是方程0)(y的根，则常函数0yy也是方程（3）的解；（2）如果常数0y是方程0)(2yM的根，则常函数0yy也是方程（4）的解。第1步：分离变量。将(3)或(4)分离变量，化为分离变量方程dxxydy)()(（5）或dxdyxNxMyMyN)()()()(1122（6）第2步：积分。在式（5）或（6）两端进行积分，得方程（3）或（4）的通解Cdxxydy)()(或CdxdyxNxMyMyN)()()()(1122.分离变量法求解程序例1求方程dxxyydyxydyxdx222554的通解。解合并同类项得ydyxdxyx)1(5)2(222分离变量，得dydxyyxx222512，积分得12252)2ln()1ln(Cyx即2522)2(11yexC，则原方程的通解为2522)2(1yCx.其中1CeC为大于零的任意常数。例2已知某商品的需求弹性为单位弹性，且当价格1p时，需求量5000Q。求该商品的需求函数。解依题意可得微分方程1dpdQQp分离变量，得pdpQdQ，积分得1lnlnCpQ则方程的通解为pCQ，其中1CeC为大于零的任意常数。将5000)1(Q代入通解，可得5000C。因此，该商品的需求函数为pQ5000例3求微分方程xyxyytan'的通解。解令xuy，则uuuxdxdudxdytan即uxdxdutan，分离变量，得dxudux1cot积分得1Cxulnsinln，即xeuC1sin，将xyu代入上式，得Cxxysin其中1CeC为不等于零的任意常数。此外，0xysin即xky（Zk）也是方程的解。如果0C则xky（Zk）也就包括在其中，所以方程的通解为Cxxysin，C为任意常数。例4已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数，且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之和)(22yx除以产量与可变成本之积的二倍)2(xy；固定成本为10；1x时，3y。求总成本函数)(xCC。解依题意，有微分方程xyyxdxdy222将原方程写成xyxyxyyxdxdy212222，这是齐次方程。令uxy，则有dxdudxdyxuxuy,代入原方程，得uudxduxu212，分离变量得duuuxdx212，积分得121lnlnCux即1)1(2Ceux，将yxu代回，得Cxxy22其中1CeC为不等于零的任意常数。此外，22xy也是方程的解。如果0C，则22xy也就包括在其中，所以方程的通解为Cxxy22，C为任意常数。由1x时，3y，可得8C。又因为成本0y，因此，可变成本为xxy82，所以总成本函数为xxyxC81010)(2.3．一阶线性微分方程一阶线性微分方程一般形式为)()('xQyxPy（7）其中)(xP、)(xQ为x的已知函数。特别地当0)(xQ时，称（7）的相应的方程0)('yxPy（8）为一阶齐次线性（微分）方程，而称方程（7）为一阶非齐次线性（微分）方程。并称方程（8）为方程（7）的对应齐次方程。一阶齐次线性方程与一阶非齐次线性方程统称为一阶线性（微分）方程。一阶齐次线性方程一阶齐次线性方程（8）是一个可分离变量方程，因此通过分离变量、积分便可得其通解dxxPCey)(（9）其中C为任意常数。一阶非齐次线性方程将任意常数变易为待定函数的解微分方程的方法为常数变易法.常数变易法解一阶非齐次线性方程（6）的一般程序为:第1步：求出方程（7）的对应齐次方程（8）的通解（9）；第2步：常数变易。将(9)中的常数C变易为x的函数)(xC，即令dxxPexCy)()(（10）为（7）的解，其中)(xC为待定函数；第3步：确定函数)(xC。在（10）的两边同时对x求导，可得：dxxPdxxPdxxdCdxdyexPxCe)()()()()(（11）将（9）、（11）代入方程（7），得)()()()()()()()()(xQexCxPexPxCedxxPdxxPdxxPdxxdCdxxPdxxdCexQ)()()(对上式两边积分，得CdxexQxCdxxP)()()(（12）其中C为任意常数。第4步：写出方程（7）的通解。将（12）代入（10），得dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([（13）为方程（7）的通解。说明将方程（7）的通解（13）改写为dxxPdxxPdxxPeCdxexQey)()()(])([显然，其中dxxPCe)(正是对应齐次方程（8）的通解。同时，还可以验证函数])([~)()(dxexQeydxxPdxxP满足方程（7），即y~为（7）的一特解。所以，方程（7）的通解等于其一个特解与对应齐次方程（8）的通解的和。例1求方程1)1()1(nxdxdyxenyx的通解，其中n为常数。解将方程改写为nxxndxdyxey)1(1（14）首先，求（14）的对应齐次方程01yxndxdy（15）的通解，从dxxnydy1积分，得方程（15）的通解为nxCy)1(.其次，应用常数变易法求方程（14）的通解。令nxxCy)1)((（16）为方程（14）的解，其中)(xC为待定函数。对（16）求导，得1)()1)(()1(nndxxdCdxdyxxnCx（17）将（16）、（17）代入（14），得到xdxxdCe)(积分，得到CexCx)(，将)(xC代入（15），得原方程的通解为nxxCey)1)((，其中C为任意常数。例2求方程22yxydxdy的通解。解原方程不是未知函数y的线性方程，但我们可将它改写为yyxdydx22即yxydydx2（18）方程（18）是一个y为自变量、x为未知函数的一阶线性非齐次方程。其中2)(yyP，yyQ)(。直接代入公式（13），得原方程的通解为2221)()(||ln][][])([222CyyyyCdyyeCdyyeeCdyeyQxydydydyyPdyyPyy其中C为任意常数。第7.3节二阶微分方程1．可降阶的二阶微分方程)(xfy型的微分方程由于方程)(xfy中未出现未知函数y及'y，因此我们可以将'y当作未知函数，在方程两边对x积分解出'y，然后再一次对x积分便可得原方程的解。不显含未知函数y型的二阶方程不出现未知函数y的二阶方程的一般形式为0),',(yyxF对于这种方程，可以通过变量代换化为一阶微分方程。具体的方法为：令)(xPdxdy，则有dxdPdxdydxdy将)('xPy、'Py代入原方程，得0)',,(PPxF上式是以P为未知函数，x为自变量的一阶微分方程。例求自由落体的运动路程)(tSS。解由物理学可知，自由落体运动是指物体仅受地球引力的作用初速度为零的运动。根据牛顿第二运动定律：maF（m为物体的质量，a为运动加速度），质量为m的自由落体的运动路程)(tSS的变化规律为：mgmdtSd22其中g为重力加速度，且满足初始条件0)0(S，0)0(')0(SV，即有微分方程初值问题)2(0)0(',0)0()1(22SSgdtSd在方程（1）两端对t积分，得1cgtdtdS（3）在方程（3）的两端再对t积分，得21221ctcgtS将初始条件（2）代入上式，得021cc，因此自由落体的运动路程为221)(gttS.例求方程'2)1(2xyyx的通解。解显然此方程为不显含未知函数y的二阶方程，因此令)('