山东科技大学线代重修例题

《线性代数》复习摘要【周一227+周三1-120】=【周二124+周四228】•第1-2章行列式与矩阵的运算•第3章线性方程组求解•第4章向量组的线性相关性•第5章相似矩阵与二次型山东科技大学路荣武•2016.10.101.n阶行列式的定义•定义1：n!项n个元素的乘积之和nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa2121)1(称为n阶行列式(n≥1)，记作其中，t为排列的逆序数•例1：写出四阶行列式中含有因子的项。-+•正负号的确定（2413,2431的逆序数的奇偶性？）43312412aaaa41332412aaaa2412aa§1.4行列式的性质tsrrkritskrr2221164214112111例题1（利用性质计算行列式）：03103420350021112141312rrrrrr350034200310211142rr35003100005102111223rr90003500051021112310003500051021113443rrrr45例题2：计算3111131111311111631161316113611163111131111311113各列加到第一列3111131111311113D“行等和”行列式4820000200002011116各行减去第一行§1.5行列式按行(列)展开引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．•行列式计算过程中，利用该引理可简化计算和书写过程ijaijaijijDaA例（例7续）3112513420111533D51111113100105530312cc34cc33511(1)111155051162055021rr1362(1)55820540.例设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用行列式展开定理及其推论3521110513132413DD(,)ijijMijA11121314AAAA及11213141.MMMM125202100解111213141111105134311321AAAA43rr31rr111111052202110011522211021cc25024.152111051313141310510511343rr1521110513130100121105113132rr0.1121344111213141MMMMAAAA练习（大量题目，考试题目举例）§2.2矩阵及其运算简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa()()mnijmnijAAaa一、矩阵的加法定义：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab二、数与矩阵相乘定义：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaalllllllllll知识点比较111213212223313233aaaaaaaaalll111213212223313233aaaaaaaaalll111213212223313233aaaaaaaaal111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaallllllllll一、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．()ijmsAa()ijsnBb()ijCc11221sijijisijsjkkkijcabababab(1,2,;1,2,,)imjn四、矩阵的转置定义：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT.例122,458A186,B1425;28TA18.6TB五、方阵的行列式定义：由n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或detA.运算性质(1);TAA(2);nAAll(3);ABAB.ABBA定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.元素的代数余子式位于第j行第i列性质112111222212nnnnnnAAAAAAAAAAijaijA.AAAAAE§2.3逆矩阵定理：若，则方阵A可逆，而且推论：若，则.||0A1*1.||AAA||0A11||||AA例：求3阶方阵的逆矩阵.解：|A|=1，221315323A1112132122233132337,6,3,4,3,2,9,7,4,MMMMMMMMM1121311**1222321323331||AAAAAAAAAAAAA112131122232132333MMMMMMMMM749637324方阵A可逆此时，称矩阵A为非奇异矩阵推论：对于n阶方阵A、B，如果那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.定理：方阵A可逆的充要条件是．||0A,ABE1*1||AAA||0A推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且11(),AA1ATA(0)All11()(),TTAA111(),AAll111().ABBA练习请大家及时进行大量练习！！第三章线性方程组的解主要知识点：初等变换；行最简形矩阵；矩阵的秩；最高阶非零子式；矩阵的秩的性质；线性方程组的解定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．初等变换初等行变换初等列变换ijrrirkijrkrijrrirkijrkr;ijrr;irk.ijrkr有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．AB~AB~AA~AB~,~ABBC~BA~AC行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.510104011030001300000B411214011100001300000B12rr23rr10000010000010000000F行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.510104011030001300000B34cc412ccc5123433cccc行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系rmnOEFOO任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换四、初等变换的应用，有时，由当lPPPAA210,11111EAPPPll,111111AEPPPll及EPPPAPPPllll11111111111AEEAPPPll11111.)(21AEEAEAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对,,,,初等矩阵的乘积解例１.,3431223211AA求设103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13r即初等行变换.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA)(BABA1例２解.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵.1BAXA可逆，则若343431312252321)(BA1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr，311003201023001.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rr构造增广矩阵（A,E）,(A,B)，再利用初等行变换求解逆矩阵和矩阵方程AX=B.•解1：先转置，再利用初等行变换；•解2：求出逆矩阵，再右乘到等式两端。•（B,E）=§3.2矩阵的秩定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．定理：若A~B，则R(A)=R(B)．也就是说，矩阵经过有限次初等变换后，秩不变。例：求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式．32050164143236104311~20153000481641400000rA•对应有:行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．0161041004000B0325326~205161rA解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．R(A0)=3，（尝试）计算A0的前3行构成的子式:因此这就是A的一个最高阶非零子式．3253256113266011216025205205矩阵的秩的性质①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．②R(AT)=R(A)．③若A~B，则R(A)=R(B)．④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)．⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．特别地，当B=b为非零列向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1．⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)}．⑧若Am×nBn×l=O，则R(A)