成教复变教案

成教复变教案第一章复数与复变函数§1复数1、复数概念与运算何谓复数：形式定义，虚数单位，实虚部，纯虚数，复数0，相等的意义；全体复数复数的运算：共轭复数，复数的四则运算，复数域。复数无大小。2、复数的几何意义复平面：(,)(,)xiyxyPxy，复平面，实轴，虚轴。向量表示：(),0OzxiyOPOZ（自由向量）复数加减法的几何说明模与辅角：基本概念，0无辅角。模的表示和计算（模的非负性）辅角的表示（多值性），主值表示（P.4）3、复数的各种形式三种形式：代数形式，三角形式，指数形式。欧拉公式cossiniei单位复数ie及其积商性质。利用指数表示进行复数积商运算，积、商的几何意义。基本关系式：（P.5）。4、复数的乘幂与方根乘幂及其指数表示，棣莫弗公式：(cossin)cossinnininn次方根的意义与计算公式(P.6)。5、例题P.6—P.7：例1---例5；补充：1、设132iz，求,argzz。2、121,32izzi，求：1122,zzzz的指数表示3、求41i。其他例题§2复平面上的点集1、基本点集邻域、去心邻域聚点、外点、孤立点、内点、边界点、边界闭集、开集区域、闭域有界集、无界集2、曲线曲线（方程）概念，复数表示简单曲线，闭曲线，简单闭曲线（围线），曲线方向。光滑曲线、逐段光滑曲线，约当定理。3、区域的连通性单连通区域，复围线、复连通区域。4、例题P.11—P.12:例1、例2其他例题§3复球面与无穷远点复球面，无穷远点的存在性与唯一性无穷远点的邻域，运算规则(P.15)。§4复变函数1、复函数概念两个平面点集之间的一个对应关系，单值函数，多值函数。映射，一一对应，反函数。2、复变函数的各种表示一般情形：()wfz设zxiy，则复函数可表为(,)(,)wuxyivxy设izre，则复函数又可表为(,)(,)wurivr。一个复函数实质上由一对实二元函数来决定。3、极限与连续数列极限（归结为实数列），函数极限、连续函数（归结为实二元函数情形）连续函数的性质(P.17)第二章解析函数§1解析概念与C--R条件1、解析性导数（可导、可微）概念解析：在一点解析，在一个区域解析。解析与可导（可微）的关系。导数运算法则，解析函数和、差、积、商、复合的解析性。可导与连续的关系。2、C-R条件例：讨论()fzzxiy的可微性。问题：即使,uv都可微，uiv也未必可微。可微的充分必要条件(P.25)（只证明C-R条件必要性）解析的充分必要条件(P.25)解析的充分条件(P.25)函数()(,)(,)fzuxyivxy的求导方法。3、例题：(P.26:例1—例4)§2初等单值解析函数1、正整次幂函数nwz变换性质：考察射线、圆周的象曲线。{顶点在原点、张角不超过2n的角形区域}→{顶点在原点、张角不超过2π的角形区域}2、指数函数zwe形式定义：(cossin)iyzxxeeyiyee（zxiy）性质：非零性，解析性，指数律，周期性。变换性质：水平线→射线，垂直线→圆周。{宽度不超过2π的水平带形区域}→{顶点在原点、张角不超过2π的角形区域}3、三角函数形式定义（欧拉公式变形推广）22sin,cosizizizizeeeeizz性质：解析性，奇偶性，零点分布，周期性，无界性其他三角函数：tan,cot,sec,csczzzz。§4初等多值函数1、辅角函数Argwz多值性，单值分支。在C\R-上主值分支argwz连续。Argwz的每个单值分支2argwzk都在C\R-上连续。2、对数函数Ln(0)wzz定义（函数wze的反函数）对数的表示与计算。对数的多值性，主值分支lnwz。连续性：Lnwz的每个单值分支ln2wzki都在C\R-上连续。解析性：Lnwz的每个单值分支ln2wzki都在C\R-上解析，且1(ln2)zkiz变换性质：{顶点在原点、张角不超过2π的角形区域}→{宽度不超过2π的水平带形区域}3、幂函数wz定义：Lnln2zzkizeee多值性分析：Zn时单值；Qmn时n值；无理数或虚数时无穷值。解析性：的每个单值分支都在C\R-上解析，且1()zz。n次根式函数：1nnwzz(是nzw的反函数)各分支arg2zkinnkwze都在C\R-上解析，并且C\R-212T{arg}kkkznn。4、一般指数函数定义：Lnzzaae。取定Lna的一个分支后，它是处处解析的单值函数。5、例题：P.40:例4；P.41:习题4（2、4）、6。第三章复积分§1复积分概念与性质1、复积分定义2、复积分的计算化为实二型曲线积分，参数计算法3、复积分性质：（P.47—P.48）4、例题：P48—P49:例1—例3。§2柯西定理1、定理的引入为什么要考虑积分与路径的无关性问题的转化（化为沿闭曲线的积分是否为零）联系前节的例2和例3导出定理的条件2、定理的证明（附加条件）定理等价形式（沿边界积分情形）3、定理的推广多连通区域情形，等式的转化与引申。连续到边界情形。4、原函数问题单连通区域上的变上限积分及其性质。5、例题：P.53：例1讨论题：P.54：习题1补充：设()fz在0zzR内解析，则：（1）0000()lim2()zzfzdzifzzz（2）0rR，000()2()zzrfzdzifzzz。§3柯西积分公式1、公式的建立证明：对充分小的正数r有()2()zrfdifzz由柯西定理得：()()Czrffddzz由此得到柯西公式：1()()2Cffzdiz。2、公式的应用导数的积分公式，解析函数的无穷可微性。柯西不等式，刘维尔定理。3、例题：P.60:例1，例题：2243zzedzzz其他例题第四章复级数理论§1复级数概念和性质1、数项级数级数概念，敛散性（归结为实级数情形）。收敛的必要条件。绝对收敛性（归结为实正项级数）。2、幂级数收敛半径及其计算，收敛圆，收敛域，和函数和函数的解析性，逐项求导、逐项积分。系数与和函数的关系。3、例题：P.73:习题1（1、2、3），习题3。补充：1、讨论1nnz的收敛性，2、讨论111(1)(1)nnnznn的收敛性。其它例子§2泰勒展开式与唯一性定理1、泰勒定理泰勒定理的建立（对照幂级数和函数性质）。泰勒定理的意义（算术化）。解析的又一充要条件（P.75）。泰勒展式的收敛半径(P.75)。基本初等函数的泰勒展式(P.77例1、2)。2、零点及其阶零点及其阶的概念。例：讨论32()(1),()1cosfzzzgzz的零点及其阶。m阶零点的充要条件(P.76)。零点的孤立性。3*、唯一性定理若()fz在()Na内解析并且()()0(0,1,)nfan，则()fz在()Na内恒为零。若()fz在D内解析，()NaD，在()Na内()fz恒为零，则在D内()fz恒为零。若()fz在D内解析且不恒为零，则()fz在D内每个零点都是孤立零点。唯一性定理（P.77）及推论4、例题：P.78:例3，P.79:习题1、8、10其它例题§3罗朗展式与孤立奇点1、罗朗级数概念，收敛域，和函数性质。2、罗朗定理罗朗定理及其意义（圆环内解析函数的充要条件）。与泰勒定理的关系(P.83注)P.86:例题1，P.88:习题3（2、3）3、孤立奇点及其类型分析孤立奇点概念，分类（根据罗朗展式的主要部分）。可去奇点特征(P.84)m阶极点的特征(P.84),极点的特征(P.85)本性奇点的特征(P.85)4、例题：分析11zzee的孤立奇点及其类型。P.88:习题1，P.87:例2，例3。P.88:习题4（4、5）其它例题第五章残数理论及其应用§1残数1、残数定义残数=C-1。2、残数定理定理的证明与意义（建立积分和级数的联系）3、残数的计算可去奇点处的残数一阶极点、()()()zfzz情形。m阶极点情形（对较大的m不适用）本性奇点或阶数较高的极点宜用罗朗展式。4、例：P.103:例1，P.105:习题2（2、4），3（2、3）其他例题§2应用残数计算实积分1、20(cos,sin)Rd2、()()PxdxQx3、()()imxPxedxQx用于计算()()sin,cos()()PxPxmxdxmxdxQxQx4、例题：P.113:习题1（1）P.110:例3、例4。§3辅角原理与儒歇定理1、辅角原理12dwwi绕原点的圈数1arg2w令()wfz，得到()12()Cfzdzifz的几何意义。通过计算()12()Cfzdzifz得到分析意义。综合上述讨论得到辅角原理。2、儒歇定理儒歇定理的基本想法儒歇定理的证明3、例题：P.118:例1、例2、例3第六章保形映射§1解析变换的几何特性1、解析变换性质(P.124—P.125)2、导数几何意义导数辅角的几何意义（旋转角）导数模的几何意义（伸缩率）保角性：保持旋转角（既保大小又保方向）和伸缩率保形变换：单叶且保角。3、例题：P.128:例1、例2§2线性变换1、线性变换概念分解为整线性变换与反演变换的复合2、四个保持性质保形性保交比性（由此可确定三点到三点的线性变换）保圆性（由此可确定圆域的象区域）保对称性。3、三个重要线性变换上半平面到上半平面的线性变换上半平面到单位圆内部的线性变换单位圆内部到单位圆内部的线性变换4、例题：P.138:例1、例2；P.141:习题4