成才之路数学选修2-1之第一章综合素质检测

成才之路数学选修2-1第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案]A[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.2．对于任意实数a，b，c给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“ab”是“a2b2”的充分条件；④“a5”是“a3”的必要条件；其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]当c＝0时，a、b不为0时，ac＝ba＝b，所以①是假命题；当a＝2，b＝－3时，aba2b2，所以③是假命题，②④显然正确，故选B.3．给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数，则下列新命题是真命题的为()A．p∧qB．p∨qC．綈p∧qD．綈p∨q[答案]D[解析]因为x＝0时，|x|＝x，所以命题p为假命题，又因为存在反函数的不一定是单调函数(如y＝1x)，所以命题q也是假命题，由此得綈p真，q假，故D正确．4．下列四个命题中的真命题是()A．∀x∈R，x2＋30B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x51D．∃x∈Q，x2＝3[答案]C[解析]由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋30”为假命题；由题0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题：∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x51，所以命题“∃x∈Z，使x51”为真命题；由于使x3＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x3＝3”是假命题．5．存在性命题“存在实数使x2＋10”可写成()A．若x∈R，则x2＋10B．∀x∈R，x2＋10C．∃x∈R，x2＋10D．以上都不正确[答案]C[解析]存在性命题“存在一个x∈R，使p(x)成立”简记为“∃x∈R，p(x)”．6．已知命题“如果p，那么q”为真，则()A．q⇒pB．綈p⇒綈qC．綈q⇒綈pD．綈q⇒p[答案]C[解析]利用原命题和它的逆否命题为等价命题．7．命题p：x＝π是y＝|sinx|的一条对称轴，q：2π是y＝|sinx|的最小正周期，下列新命题：①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q.其中真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]由题意知p真q假，则①④为真命题，故选C.8．(2010·广东理，5)“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件[答案]A[解析]一元二次方程式x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，∴m≤14，故“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0”有实数解的充分不必要条件．9．下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x0B．如果x2，那么x1C．∃x∈R，x2≤－1D．∀x∈R，使x2＋1≠0[答案]D[解析]A显然是假命题，B中若x∈[1,2)虽然x2但x不小于1.C中不存在x，便得x2≤－1，D中对∀x∈R总有x2＋1≥1∴x2＋1≠0，故D是真命题，选D.10．在ΔABC中，设命题p：asinB＝bsinC＝csinA，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]C[解析]由已知a＝bsinBsinC＝b2c⇒b2＝ac.同理a2＝bc，c2＝ab，故有(a＋c)(a－c)＝b(c－a)．若a≠c，则a＋c＝b与a、b、c是△ABC的三边矛盾，故a＝c，同理得到b＝c，于是a＝b＝c，于是充分性得证，必要性显然成立．11．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α[答案]D[解析]对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，m是否垂直β，决定于m的位置；对于B，β⊥γ与α、γ的交线m没有必然的联系，即不一定有m⊥β；对于C，α⊥γ，β⊥γ，则α、β的位置关系可相交，可平行；对于D，n⊥α，n⊥β，则有α∥β，又m⊥α，∴m⊥β是充分的．12．函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件()A．a∈(－∞，1]B．a∈[2，＋∞)C．a∈[1,2]D．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)[答案]D[解析]函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上有反函数，则f(x)在区间[1,2]上单调，又因为其对称轴为x＝a，所以x＝a应在区间[1,2]的左侧或右侧．∴a≤1或a≥2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．命题：“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是______．[答案]若A∪B≠A则A∩B≠B14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0(a≠0)的两根均大于0，则ac0”的一个等价命题是____________________________________．[答案]若ac≤0，则方程a2－bx＋c＝0的两根不全大于0.15．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件是________________．[答案]c＝016．若“x∈[2,5]或x∈{x|x1或x4}”是假命题，则x的取值范围是________．[答案][1,2)[解析]x∈[2,5]或x∈{x|x1或x4}，即x∈[2,5]∪{x|x1或x4}，即x∈{x|x1或x≥2}，此命题为假，∴x∈[1,2)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)写出所给命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．若x2＋x≤0，则|2x＋1|1.[解析]逆命题：若|2x＋1|1，则x2＋x≤0为真．否命题：若x2＋x0，则|2x＋1|≥1为真．逆否命题：若|2x＋1|≥1，则x2＋x0，为假．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.[解析](1)綈p：∃m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．若方程x2＋x－m＝0无实数根，则Δ＝1＋4m0，则m－14，所以当m＝－1时，綈p为真．(2)綈q：∀x∈R，使得x2＋x＋10.(真)因为x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340所以綈q为真．19．(本小题满分12分)已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|x2－4x＋30}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．[解析]P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}．∵x∈P是x∈Q的必要条件∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P∴a－4≤1，a＋4≥3，⇒a≤5a≥－1∴－1≤a≤5.20．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题，并判断新命题的真假．(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分．[解析](1)p或q：正多边形有一个内切圆或者有一个外接圆．p且q：正多边形既有一个内切圆，也有一个外接圆．非p：正多边形没有内切圆．∵p真q真，∴p或q，p且q为真，綈p为假．(2)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分非p：存在一个平行四边形的对角线不相等因为p是假命题，q是真命题，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为真命题．21．(本小题满分12分)已知a0设命题p：函数y＝(1a)x为增函数．命题q：当x∈[12，2]时函数f(x)＝x＋1x1a恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．[解析]由y＝(1a)x为增函数得，0a1因为f(x)在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．∴f(x)在x∈[12，2]上最小值为f(1)＝2.当x∈[12，2]时，由函数f(x)＝x＋1x1a恒成立得，21a，解得a12如果p真且q假，则0a≤12.如果p假且q真，则a≥1所以a的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)22．(本小题满分14分)已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：(1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件．[解析](1)方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是：1－a≠0Δ≥0即：a≠1(a＋2)2＋16(1－a)≥0⇔a≠1a≤2或a≥10即：a≥10或a≤2且a≠1设此时方程两根为x1，x2∴有两正根的充要条件是：a≠1a≤2或a≥10x1＋x20x1x20⇔a≠1a≤2或a≥10a＋2a－104a－10⇒1a≤2或a≥10即为所求．(2)从(1)知1a≤2或a≥10方程有两个正根当a＝1时，方程化为3x－4＝0有一个正根x＝43方程有一正、一负根的充要条件是：1－a≠0Δ≥0x1x20⇔a≠1a≤2或a≥104a－10⇔a1综上：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10.