工科高数主要知识点回顾

工科高数主要知识点回顾第七章空间解析几何与向量代数1.向量运算（数量积，向量积）),,(),,,(222111zyxbzyxa，则cos212121bazzyyxxba222111zyxzyxkjiba2.两个向量垂直、平行的充要条件2121210//zzyyxxbaba00212121zzyyxxbaba例如（2006填空题1）3.向量的方向余弦，两向量的夹角余弦公式212121121212112121211cos,cos,coszyxzzyxyzyxx222222212121212121coszyxzyxzzyyxxbaba4.关于直线与直线、直线与平面、平面与平面的问题，总是转化为向量与向量的问题例如（2006选择题1）第八章多元函数微分法及其应用1.多元函数的极限（化为一元函数的极限问题）例如（2005填空题4）2.偏导数的定义00000000000),(),(lim),(),(lim),(0xxyxfyxfxyxfyxxfyxfxxxx例如（2005填空题1）3.全微分dyyzdxxzdz例如（2005填空题5）4.复合函数的偏导数（链式图）),(),,(),.(yxvvyxuuvufzyvvfyuufyzxvvfxuufxz,例如（2005选择题8）（2006解答题1）5.隐函数的求导（两边对x求偏导）zxFFxz例如（2005填空题7）（2006计算题2）6.方向导数与梯度梯度),,(zyxfffgradf方向导数coscoscoszyxffflf方向导数的存在条件如果函数),(yxf在点P可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在例如（2005选择题4）7.空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线空间曲线)(),(),(tztytx切向量))(),(),((///tttT0))(())(())((,)()()(00/00/00/0/00/00/0zztyytxxttzztyytxx（其他参数方程形式的情形）空间曲面0),,(zyxF法向量),,(zyxFFFnzyxzyxFzzFyyFxxzzFyyFxxF000000,0)()()(8.多元函数的极值，条件极值（拉格朗日乘数法）极值点可能存在的地方：驻点，不可导点驻点处是否为极值是何种极值的判定：yyxyxxfCfBfA,,（1）02BAC为极值点，0A为极小值点，0A为极大值点；（2）02BAC不是极值点.在约束条件0),(yx下求函数),(yxfz的极值构造拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxL令偏导等于零0),(00yxfLfLyyyxxx求出可能的极值点，再根据实际问题的性质判断是否为极值点.例如（2006解答题2）第九章重积分1.二重积分的物理意义所占区域为D面密度为),(yx的平面薄片的质量DdyxM),(2.二重积分的计算（化为二次积分）（1）直角坐标系下若D为X型区域，)()(,:21xyxbxaD，则baxxDdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(若D为Y型区域，)()(,:21yxydycD，则dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(例如（2006选择题2）（2006计算题4）（2）极坐标系下若)()(,:21baD，则baDdfddyxf)()(21)sin,cos(),(例如（2005填空题2）（2005选择题3）3.交换积分次序（1）根据二次积分写出积分区域表达式（2）根据积分区域表达式画出积分区域（3）将需要的区域表达式形式写出来（4）写出相应的二次积分例如（2006填空题3）（2006计算题3）4.三重积分的计算（化为三次积分）（1）直角坐标系下先算一重积分后算二重积分若在xOy面上的投影为xyD，上下曲面方程分别为),(),,(12yxzzyxzz，则xyDyxzyxzdzzyxfdxdydvzyxf),(),(21),,(),,(先算二重积分后算一重积分若在z轴上的投影为21czc，用垂直于z轴的平面截积分区域得zD，则21),,(),,(ccDzdxdyzyxfdzdvzyxf例如（2005三）（2）柱面坐标系下若在xOy面上的投影xyD在极坐标系下为)()(,21ba，上下曲面方程分别为),(),,(12zzzz，则bazzdzzfdddvzyxf)()(),(),(2121),sin,cos(),,(（3）在球面坐标系下cos,sinsin,cossinzyrxddrdrrrrfdvzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),,(25.利用对称性可以简化积分的计算积分区域关于0x对称，则f是x的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于0y对称，则f是y的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于0z对称，则f是z的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍6.重积分的应用（曲面面积）曲面),(yxfz在xOy面上的投影为D，则DyxdffA221第十章曲线积分与曲面积分1.曲线积分的计算（化为定积分）对弧长的曲线积分btatzztyytxx),(),(),(badtzyxtztytxfdszyxf2/2/2/)()()())(),(),((),,(（参数方程的其他情形）例如（2005选择题5）对坐标的曲线积分)(),(tyytxx，t从a到bbaLdttQytPxdyyxQdxyxP)]()([),(),(//（参数方程的其他情形）2.两类曲线积分之间的关系dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(其中cos,cos,cos为曲线切向量的方向余弦3.格林公式，积分与路径无关LDQdyPdxdxdyyPxQ其中L为D的正向边界（外边界逆时针，内边界顺时针）例如（2005选择题6）（2005四）（2006选择题4）（2006解答题3）4.曲面积分的计算（化为重积分）对面积的曲面积分),(yxzz，曲面在xOy面上的投影为xyD，则xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)),(,,(),,(例如（2005选择题7）对坐标的曲面积分xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)),(,,(),,(，曲面取z轴正向侧时取正，否则取负yzDdydzzyzyxPdydzzyxP),),,((),,(，曲面取x轴正向侧时取正，否则取负zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ)),,(,(),,(，曲面取y轴正向侧时取正，否则取负例如（2006计算题7）5.两类曲面积分之间的关系dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(其中cos,cos,cos为曲面法向量的方向余弦应用（1）将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分再计算；应用（2）将对不同坐标的曲面积分化为对同种坐标的曲面积分dxdyzyxPdSzyxPdydzzyxPcoscos),,(cos),,(),,(dxdyzyxQdSzyxQdzdxzyxQcoscos),,(cos),,(),,(6.高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP其中为的外表面例如（2005六）第十一章无穷级数1.收敛级数的基本性质收敛＋收敛＝收敛；收敛＋发散＝发散若0limnnu，则级数发散2.常用的两个级数（1）几何级数0nnq当1q时收敛，1q发散（2）p-级数11npn当1p时收敛，1p时发散例如（2005填空题6）3.正项级数的审敛法比较审敛法的极限形式设lvunnnlim，则（1）l0时，nu与nv有相同的敛散性；（2）0l时，nv收敛则nu收敛；（3）l时，nv发散则nu发散；例如（2006计算题1）比值审敛法设luunnn1lim，则当1l时收敛，当1l时发散根值审敛法设lunnnlim，则当1l时收敛，当1l时发散4.交错级数的审敛法（莱布尼兹审敛法）若交错级数的一般项满足：绝对值单调递减趋于0，则交错级数收敛例如（2006选择题5）5.任意项级数收敛的判断（绝对收敛，条件收敛）例如（2006选择题5）6.幂级数的收敛域设nnnaa1lim，则收敛半径1R不能用该定理求收敛半径时，可以考虑用证明本定理的方法例如（2005五）（2006填空题5）7.幂级数的和函数，函数的幂级数展开（间接法）逐项求导，逐项积分化为已知和函数的幂级数（注意注明收敛域）例如（2005五）（2006计算题6）8.周期为2的函数的傅立叶展开10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf其中,2,1,0,cos)(1nnxdxxfan,2,1,sin)(1nnxdxxfbn9.收敛定理（狄里克雷充分条件）当x是)(xf的连续点时，傅立叶级数收敛于)(xf；当x时)(xf的间断点时，傅立叶级数收敛于)]0()0([21xfxf例如（2005填空题3）第十二章微分方程1.可分离变量的微分方程（两边积分）dyygdxxf)()(例如（2005选择题1）（2006计算题5）2.齐次方程（换元化为可分离变量的微分方程）xyfdxdy，令uxy3.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程（可分离变量的微分方程）0)(yxpdxdy（2）一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）)()(xqyxpdxdy设相应线性齐次方程通解为)(xCey，令)()(xexuy为线性非齐次方程的解，代入线性非齐次方程，化为关于)(xu的可分离变量的微分方程，求出通解后代回)()(xexuy例如（2006解答题3）（3）伯努里方程nyxqyxpdxdy)()(令nyz1，化为关于z的一阶线性非齐次微分方程，再用常数变易法4.全微分方程0),(),(dyyxQdxyxP解法1：（1）判断是否为全微分方程yPxQ；（2）积分),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu（3）方程的通解为Cyxu),(解法2：凑微分),(),(),(yxdudyyxQdxyxP5.可降阶的高阶微分方程（1）)()(xfyn（两端积分n次）（2）不含y的二阶方程),(///yxfy令)(/xpy，则///py，化为一阶方程（3）不含x的二阶方程),(///yyfy令)(/ypy，则ppdxdydydpypdxdydxdy////)(，化为一阶方程6.高阶线性微分方程解的结构7.二阶常系数齐次线性微分方程（特征方程法）0///qypyy特征方程为02qprr（1）有两个不等的实根21,rr，通解为xrxreCeCy2121（2）有两个相等的实根21rr，通解为xrexCCy1)(21（3）有一对共轭复根biar2,1，通解为)sincos(21bx