工程力学2运动学

第二篇运动学任务:运动学单纯从几何观点描述物体在空间的位置随时间变化的几何性质——运动方程、轨迹、速度、加速度等。运动的相对性：参照物-----参考体------参考坐标系------参考系对任何物体运动的描述都是相对的。点、刚体第八章点的运动§1.点的直线运动轨迹：点所走过的路线xo·Mxx=x（t）运动方程：平均速度：txv加速度：xvdtxddtdva22xdtdxv速度：β在直线运动中,v、a都是代数量，当v、a同号时，点作加速运动，否则反之。建立点的运动方程是描述点运动几何性质的关键。若a为常量,则有:axvvattvxxatvv2212022000例:曲柄连杆机构如图,求滑块B的运动规律、速度及加速度。oBArlωt解：分析要求点的轨迹——若为直线运动，则建立直线轴x，取一固定点作为原点，将要求点置于坐标轴上任意位置（不要放在特殊位置），标出动点在坐标轴上的位置坐标x，纯粹用几何方法找出x的长度，并表成时间t的函数，即为运动方程。xx∴x=rcosωt+lcosβ而tlrsinsin2)sin(1costlrltrxv、a同学们自己求。§2.点的曲线运动一.矢径法:(用于理论推导)Mr·OΔrr=r(t)运动方程：矢端所描出的曲线即为M点的轨迹.平均速度:速度:rvrva22dtddtd加速度：trvrrvdtd二、直角坐标法(多用于轨迹为未知之情形)Mr·r=xi+yj+zkkji（x，y，z）xyz0·x=x（t）y=y（t）Z=z（t）运动方程：kjirvzyxkjirvazyx222zyxv　　　　　　vxcoszvayvaxvazzyyxx222zyxa　　　　　　axcoszvyvxvzyx例：半径为r的圆轮放在粗糙的水平面上，轮心A以匀速v0前进，求轮缘上任一点的运动规律。A·O·M解：①在轮缘上任取一点M（不能是特殊点）；xy②找一固定点O建立直角坐标，标出M点的位置坐标；DBCθ③纯粹用几何方法找出该坐标的长度，最终表为时间t的函数--------即为运动方程。x=OC=OB-CBy=MC=AB-AD=vot-rsinθ=r-rcosθrMBrtvsin0rtvrtv00sinrtvrr0cos速度、加速度请同学们做。三、自然坐标法(用于轨迹为已知之情形):1、弧坐标、运动方程S(+)Ms=s(t)oS：弧坐标运动方程：自然法：用弧坐标描述点运动的方法称为弧坐标法或自然坐标法，简称自然法。2、曲率、自然轴系MoTΔθΔs把MM'段曲线的平均弯曲程度用K*表示K*│Δs│Δθ=———平均曲率:曲率:dsdk曲率半径:ddsk1·Δr自然轴系:对于空间任意曲线,其上任一点都有自己的切线和法线,以弧坐标增加的方向规定为切线的正向,沿切线的单位矢量记为τ,规定过切点指向曲率中心的方向为主法线方向,沿主法线的单位矢量记为n,再取b=τ×n为第三个矢量,称为付法线,此三轴即为自然轴系.自然轴系为流动坐标系，其原点随点M的运动而运动，τ、n、b是变矢量,其方向随点M的运动而改变。Mbτno(+)3、速度MoτΔs(+)ttr0limdtdrv)(lim00rsrtstτsv4、加速度·ΔτMoτΔs(+)ΔθnCdtdvadtsd)(dtdsdtsddtdssdtdsdsddddtdddsk)(limlim00eddee00lim2sin2limnnnss2naa字母顶上加“—”表示矢量，以下同。切向加速度:saaaan法向加速度:22aaan全加速度:naatgnvan2α全加速度始终位于曲线内凹的一侧.特殊地:①ρ=∞,an=0,直线运动,a=aτ,直线运动不必表为弧坐标.②.v=常量,aτ=0,匀速曲线运动,a=a.n③.匀变速曲线运动,aτ=常量,则有:savvtatvsstavv2212022000例1:点作平面曲线运动,速度为v,其加速度a与曲率圆所截的弦MA=l,求证此时rvaan2cos解:依题意画图,CAMlravαlva22rl2cos例2:点作平面曲线运动,其速度v在某一固定方向的投影为常量C,求证其加速度,ρ为曲线在M点处的曲率半径.MvnyxαCva3Cvvxcos解:依题意画图,0xayaaarvaan2cosvCcos两式相除即得结果.概念题：点M做直线运动，其运动方程曲线为x-t曲线，问速度曲线v-t有几处明显错误?x(t)tv(t)tOO以后为直线答:①t=0，v≠0②t=t1，v=0③t=t2，v=0④t1＜t＜t2，v＜0⑤t＞t3，v=CMv沿切线判断正误:①点M的运动方程为x=Asinωt,A、ω为常数，则M点的轨迹必为正弦曲线。②左图中动点M作加速运动，右图中动点M作减速运动.a沿法线.v沿切线aM③下列三图中，点沿已知曲线运动，图上标注的v、a是否可能?v沿切线avava概念题：1)点做何种运动，出现下列情况之一：2）点M沿螺线以匀速v自外向里运动，问该点运动的加速度是越来越大？还是越来越小？匀速直线运动.vM匀速曲线运动直线运动①≡0②≡0③≡0概念题：1)图示点沿曲线(不是直线)运动，已知a为常矢量。问点作下列何种运动？匀变速运动。②非匀变速运动。③匀速运动。2）判断正误①点作直线运动时，必有②点作匀速曲线（不是直线）运动，则（a）a=0（b）=常矢量（c）=常量（d）v=常矢量①aaasvva2202例：点沿抛物线y2=4px运动，沿y方向的速度为常量C，求vx及加速度a。解：轨迹方程两边对t求导，pCxCpxpCxxpCvaavaCpxCppxpyCvxpyyxxyyx22202442422例：点沿半径为R的圆周作匀加速运动，v0=0，全加速度a与切线的夹角为α，以β表示点所走过的弧s所对的圆心角，求证：tgα=2βαaβs解：根据题意画图：Rvaan2sinaacos两式相除：Ravtg2savvτ2202而Rs又∴tgα=2β例：点沿半径为R的圆弧运动，v在直径AB方向的投影u是常数，求点M的vM及aM与φ的关系。ABvMφ解：uvvxsinsinuvruva32sincos222sinrurvan3222sinruaaanx例：图示卷杨机构，绳OB以匀速下拉，求套在固定杆上的套筒A的速度与加速度，表成x的函数。AOBlxvB解：A作直线运动，222lABx两端对时间求导：0)(22BvABxx22)(lxxvxvABxBB?x同学们自己求。第九章刚体的简单运动§1.刚体的平行移动(平动)刚体的平动:如果刚体在运动过程中,其上任一条直线始终与它的最初位置平行,这种运动称为刚体的平行移动,简称平动或移动.平面平行四连杆机构orAABA1B1A2B2rBaAaBvAvBBAvvBAaa当刚体平行移动时,其上各点的轨迹形状相同;在同一瞬时,各点的速度、加速度也分别相同.研究刚体的平动可以归结为研究刚体内一点的运动.BABArrπ§2.刚体绕定轴的转动转动:如刚体在运动过程中,其中只有一条直线保持不动,则这种运动称为刚体绕定轴的转动,简称转动.这条不动的直线,称为刚体的转轴,简称轴.zφ转角:φφ=φ(t)转动方程:角速度:dtd22dtddtd角加速度:2212022000ttt当角加速度为常量时，有:§3.转动刚体内各点的速度和加速度sRsRRsv转动刚体内任一点的速度大小,等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积,它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方.MvoR切向加速度:RRsaaaan法向加速度:222)(RRRRvan全加速度:naatg2422Raaan速度:α§4.轮系的传动比vω1ω22211rrv1221rr12i传动比：r1r2ω1ω2r1r2)1(60n2rpmsn转速转/分，；角速度概念题1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体（1）越转越快（2）越转越慢（3）不一定2）两齿轮啮合时：接触点的速度（1）相等；（2）不相等；（3）不一定接触点的切向加速度（1）相等；（2）不相等；（3）不一定3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同练习题：图示连续印刷过程，纸厚为b，以匀速v水平输送，试以纸卷的半径表示纸卷的角加速度。vbr解：ddrrvdtdddrrvdtdrrvrv222)减小r(2增大时而bddr322πrbv练习题：一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的夹角恒为600，当运动开始时，其转角φ0=0，初角速度为ω0，求飞轮的转动方程及角速度与转角的关系。aφO解：ra60sinaτ2n60cosara两式相除：260tg2323dtd23dddtd23dddd3030dd30e第十章点的合成(复合)运动§1.基本概念点的合成运动研究一个点相对于两个完全不同的坐标系的运动及其之间的关系.点的合成运动研究一个点相对于两个完全不同的坐标系的运动及其之间的关系.牵连运动静系动点M动系刚体的运动牵连点:动系上瞬时与动点重合的点.绝对速度va绝对加速度aa相对速度vr相对加速度ar静系通常固结于地面牵连点相对于静系的速度、加速度分别称之为牵连速度ve和牵连加速度ae。§2.点的速度合成定理AMBM1M///ABrυaυeυ/11/MMMMMMtMMtMMtMMttt/1010/0limlimlim动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。rυ例1:凸轮半径为R,沿水平面以匀速v0向右运动,求φ=600时杆AB的速度.ABv0φR解:reavvv003360vvctgveaABv0φR①.正确地选取并明确地指出动点和动系：．动点和动系不能在同一刚体上；．在某一物体上，动点相对该物体的位置应是不变的点；．动点的相对运动轨迹要清晰可辨；．常取两物体的接触点、滑块、套筒、小环、小球等为动点。③对动点进行速度分析并图示,列出速度合成定理,常用几何法求速度。动点:A(AB上)动系:凸轮②.分析三种运动:绝对运动:直线运动;相对运动:曲线运动;牵连运动:平动vavevrreavvvvavevr0erv2vv360sin0φABCODM解：动点M，动系OD杆vevavr23cosOCOMve232coseavv23sinarvvt=1s时，φ=30023633108OM例2：OD杆绕O转动，转动方程为：radt6sin3小环M套在OD杆和固定杆AB上，设OC=54cm，求t=1s时小环M的绝对速度与相对速度。reavvvvrvave例3：杆OA长l，在推杆BCD以匀速u的推动下绕O转动，求当OC=x时，杆端A的速度，表为x的函数。buxDCBOA解：动点B，动系OA。vevavrsinaevvθubxb22OBveOA22bxveubxb22ubxlb