工程电磁场-基本概念回顾及习题课.

1工程电磁场基本概念回顾及习题课第1章矢量分析与场论基础（1）等值面；（2）矢量线；（3）方向倒数与梯度的关系；（4）无源场或无散场；（5）无旋场（1）标量场的等值面设标量场u(M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任何一点M0，可以作出这样的一个曲面S，在它上面每一点处，函数u(M)的值都等于u(M0)，即在曲面S上，函数u(M)保持着同一数值u(M0)，这样的曲面S叫做标量场u的等值面。等值面的方程为(,,)uxyzC式中，Ｃ为常数。给定Ｃ的一系列不同的数值，可以得到一系列不同的等值面，称为等值面族。电位场是一个标量场，由电位相同的点所组成的等值面叫做等电位面。（2）矢量线所谓矢量线，是指其上每一点处曲线的切线方向和该点的场矢量方向相同。矢量线反映了场矢量在线上每一点的方向。矢量线的切线方向与场矢量的方向相同，所以矢量线方程又可以用矢量式表示为dlA0直角坐标系下矢量线方程在电磁场中，电场强度线和磁感应强度线都是矢量线。习题1-4（3）方向倒数与梯度的关系如果在标量场中任一点Ｍ处，存在矢量Ｇ，其方向为场函数u(x,y,z）在Ｍ点处变化率最大（方向导数最大）的方向，其模｜Ｇ｜是这个最大变化率的数值，则称矢量Ｇ为标量场u(x,y,z）在点Ｍ处的梯度，记为方向导数等于梯度在该方向上的投影，表示为232xyzxyzxyxzxyleeeeee习题1-5应用散度概念可以分析矢量场中任一点的情况。在M点，若divＡ＞０，则表明Ｍ点有正源；若divＡ＜０，则表明Ｍ点有负源。若divＡ＝０，则表明该点无源。如果在场中处处有divＡ＝０，则称此场为无源场或无散场。小河泉眼漏洞（4）无源场直角坐标系中散度的计算公式习题1-18•矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。•点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。•在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场，J称为旋度源；•点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。•若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。（5）无旋场习题1-22第二章静电场的基本原理1、库仑定律2、电场强度3、环路定律的表达形式4、等位面和电场强度线方程5、高斯通量定理的表达形式6、电偶极子电位和电场与距离的关系7、静电场中导体内和导体表面的电场特性8、电位移矢量与电场和极化强度的关系9、常见介质极化强度与电场强度的关系10、电介质分界面条件标量表达式11、泊松方程、拉普拉斯方程和拉普拉斯算子的表达式及边值问题的分类(1)库仑定律两个点电荷之间的作用力用下式表示在真空中，两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方成反比；作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。是真空中的介电常数，单位是（法（拉）/米），F/m；电荷量的单位库仑，C距离的单位米，m力的单位牛顿，N库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础。点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。0计算时，要用国际单位制。单位的符号要用正体。（2）电场强度点电荷q产生的电场强度电场强度的单位伏/米，V/m例2-1-1真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。求线段外任一点P的电场强度。解：根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。坐标的源点位于线段的中心，z轴与线段重合。场点P的坐标为，取电荷元，源点坐标为则电荷元在P点产生的电场强度的各分量为dz(,,)rz(0,,)z场点坐标是不变量，源点坐标中是变量，统一用θ表示总的电场强度若为无限长直导线(,,)rz(0,,)zz习题2-1由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分的运算在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：[]xyzxyzEeee（3）静电场环路定理对电场强度求旋度，可得即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分形式。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。根据斯托克斯定理，有电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式。（4）等电位面与电场强度线方程等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由电位相同的点组成的曲面，其方程为点电荷是一种典型的电荷结构它所产生电场的等电位面的方程为0(0)4qCRR解得04qRC。即等电位面是以点电荷所在点为球心，以04qC为半径的球面。点电荷在它所在平面上产生电场的等电位线是一系列的圆，见图。电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方向就是该点的电场强度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元，则电场强度可表示为E=kdl。在直角坐标系中，有电场强度线方程位于坐标原点的点电荷产生的电场强度线是过原点的一族射线+正负点电荷的电场线-例2-2-1如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产生的静电场中，求P1(0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。解：由电位公式直接计算，P1和P2点的电位分别为高斯通量定理的微分形式即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密度与真空的介电常数之比。（5）高斯通量定理高斯通量定理的积分形式例2-3-2如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径为a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆球内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。解：根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为-ρ的小球在P共同产生的电场强度。小球内电荷产生的电场强度为因为大球内电荷产生的电场强度为根据高斯通量定理习题2-82πqr（6）电偶极子电位和电场与距离的关系所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整体。设电偶极子两电荷的电荷量分别为q和-q，从负电荷到正电荷的距离矢量为d，则可以用一个矢量来表示电偶极子。这个矢量叫做电偶极矩，记为p，且电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规律有明显不同。点电荷的电位与R成反比，而电偶极子的电位与R2成反比。电偶极子产生的电场强度的幅值与R3成反比。E1）导体内部的场强处处为零。2）导体是个等势体，导体表面是个等势面。3）导体外表面切线方向的电场强度为零，导体外表面电场强度只有法向分量，即导体外表面上电场强度的方向垂直于导体的表面。+FE0E因为：电场线与等势面处处正交。（7）静电场中导体内和导体表面的电场特性定义一个新的场矢量D，叫做电位移矢量，且（8）电位移矢量与电场和极化强度的关系电介质极化后，其内部存在大量按一定规律分布的电偶极子。将电偶极子偶极矩的密度定义为极化强度P,用来表示电介质极化的程度，即小体积内电偶极矩的矢量和根据实验，常见的电介质是线性、各向同性的。极化强度与电场强度的关系可表示为0PE是电介质的极化率。（1）极化率大表示材料易于极化，极化率小表示材料不易于极化；（2）真空的极化率为0，说明真空不能被极化；（3）不同的电介质有不同的极化率。（9）常见介质极化强度与电场强度的关系分界面上的电荷面密度为21nnDD21ttEE（10）电介质分界面条件标量表达式在不同电介质的分界面上，存在极化面电荷(束缚面电荷)，也可能存在自由面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程的应用，却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处的应用遇到困难。因此必须研究场矢量的分界面条件。习题2-15称为静电场的泊松方程。当场域中没有电荷分布时称为静电场的拉普拉斯方程（12）泊松方程、拉普拉斯方程表达式及边值问题的分类第1类边值问题第2类边值问题混合边值问题例真空中一静电场的电荷分布只随x坐标变化，不随y和z坐标变化，已知电荷体密度1x（Cm3）；x0，00；x1（m），1001（V）。求01x区域的电位和电场强度。解静电场的电位满足泊松方程201dd220220xx0221ddx10ddCxxxCxC20122代入边界条件00,得C20,11210001C,得C1010012代入C1和C2xx200210012（V）Eeeddxxxx0010012（Vm）第三章恒定电场的基本原理1、体电流密度的定义式2、电流密度与电场强度的关系3、电源中电场强度的表达式4、电荷守恒原理的表达式5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式6、恒定电场边界条件的分类将单位时间内流过某个面积S的电荷量定义为穿过该面积的电流，用I表示Iqtqttlim0dd电流的单位是安（培）（A）。1安＝1库秒。电荷在空间体积中运动，形成体电流。密度为的体电荷以速度v运动，形成体电流密度J，定义vJ。1、体电流密度的定义式2.电流密度与电场强度的关系根据有关导电理论和实验，对于大多数导电媒质，其中的电流密度与电场强度的关系可表示为EJ式中:称为导电媒质的电导率，单位是西门子米（Sm）。如果0，上式也可表示为JJER1式中:R称为导电媒质的电阻率，单位是欧姆·米（m）。可见与R互为倒数。JJER1此式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质中恒定电场的辅助方程。若不随电场强度方向改变而变化，则称导电媒质为各向同性媒质。若不随电场强度和电流密度量值变化，则称导电媒质为线性媒质。若媒质中处处相等，则称导电媒质为均匀媒质。许多导电媒质的电导率随温度变化。如金属导体的电导率随温度降低而增大，有些金属或化合物当温度降到某一临界数值后，，变为超导体,EJ不再适用。作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电场强度，记为Ee。电源中总的电场强度EEETCe。在电源以外的区域，只存在库仑电场。总的电场强度EETC。3、电源中电场强度的表达式电荷守恒原理：自然界中电荷量是守恒的。给定任意闭合面，设闭合面内的电荷量为q，空间的电流密度为J，则JSdSqt等式左边是单位时间从闭合面流出的电荷量，等式右侧为单位时间闭合面内减少的电荷量。上式为电荷守恒原理的积分形式。4、电荷守恒原理的表达式应用散度定理得Jt这电荷守恒原理的微分形式。对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化，tqt00,。得恒定电场的电流连续性方程J0JSdS0上式适合于电源和电源以外恒定电场的任何区域。电流连续即电流密度的散度为零，说明恒定电流场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终止电流密度线，即电流密度线处处连续。在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电荷，也可能存在束缚面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续。场矢量的不连续性不影响积分形式基本方程却影响微分形式的基本方程的应用，因此必须研究场矢量的分界面条件。21ttEEJJnn215、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式3-6垂直3-7平行第一类边界条件：一般在已知电压的电极表面上有0Γ第二类边界条件：一般在已知电流分布的电极表面上有0nJn在导体与绝缘体分界面（电流场的边界）上有0n6、恒定电场边界条件的分类第4章恒定磁场的基本原理1、毕奥-沙伐定律2、洛仑兹力表达式3、矢量磁位与磁感应强度的关系4、磁感应强度线的表达式6、磁偶极矩和磁化强度的定义5、安培环路定理的积分形式7、磁感应强度与磁场强度和磁化强度的关系8、常见磁媒质磁化强度与磁场强度的关系9、磁媒质分界面衔接条件的标量表达式把坐标原点到场点的距离矢量记为r，坐标原点到源点的距离矢量记为r，则从源点到场点的距离矢量可表示为Rrr，Rrr，errrrR。进一步，可以得到电流元Idl产生磁场的磁感应强度02dd4RIRleB式中磁感应强度与电流的关系，通常称为毕奥—沙伐定律。1、毕奥-