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4差分形式的阻滞增长模型5按年龄分组的种群增长差分方程模型(续)问题:一位研究昆虫的生物学家坚持多年到太平洋上一个远离大陆和其他岛屿的小岛上去考察岛上蝴蝶的数量变化。多年的抽样统计,发现一个奇怪的现象:岛上的蝴蝶数量变化很不规律,忽多忽少。假定岛上蝴蝶的数量只有一种,我们能不能用数学模型来解释这一现象呢?)1()(Nxrxtx,2,1),1(1kNyryyykkkk4差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)t,xN,x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t)~某种群t时刻的数量(人口)yk~某种群第k代的数量(人口)若yk=N,则yk+1,yk+2,…=N讨论平衡点的稳定性,即k,ykN?y*=N是平衡点kkyNrrx)1(1rb记)1()1(1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry)1(1)1(1)2()1(1kkkxbxx一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N讨论x*的稳定性变量代换(2)的平衡点brrx111*虫口方程(1)的平衡点x*——代数方程x=f(x)的根稳定性判断)2())(()(***1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程x*也是(2)的平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的稳定平衡点1)(*xfx*是(2)和(1)的不稳定平衡点补充知识一阶非线性差分方程)1()(1kkxfx的平衡点及稳定性)21()(**xbxf1)(*xf)1()(xbxxfx)1(1kkkxbxx的平衡点及其稳定性平衡点bx11*稳定性31bx*稳定)1)((3*xfbx*不稳定另一平衡点为x=01rb1)0(bf不稳定b20yxxy)(xfy4/b*x2/110x1x1x2x21)1(b2/1/11*bx*xxk(单调增))1(1kkkxbxx的平衡点及其稳定性bx11*)2()1(1kkkxbxx3)3(b01/21y4/bxy)(xfy0x1x*x2xx32)2(b2/1/11*bx*xxk(振荡地)y0xxy)(xfy0x1x2x*x2/114/b*xxk(不))1(1kkkxbxx的平衡点及其稳定性)1(1kkkxbxx初值x0=0.2数值计算结果bx11*b3,xb=3.3,x两个极限点b=3.45,x4个极限点b=3.55,x8个极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.4118960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55))((xffx)(),(*1*2*2*1xfxxfxbbbbx23212*2,1(*))())(()()2(12kkkkxfxffxfx)(1kkxfx倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论*xxk(不)*212*12,xxxxkk子序列单周期不收敛2倍周期收敛(*)的平衡点bx11*10*2**1xxxx*不稳定,研究x1*,x2*的稳定性)1()(xbxxf)]1(1)[1(xbxxbxb3.3b)()())(())((*2*1)2()2(*2*1xfxfxfxfxxxx)21)(21())((*2*12,)2(*2*1xxbxfxxx1))((*2,1)2(xf倍周期收敛*212*12,xxxxkk449.361b)21()(xbxfbbbbx23212*2,1的稳定性2)2()]([])([xfxfx1*x2*x*b=3.4y=f(2)(x)y=xx0倍周期收敛的进一步讨论1))'((45.3*2,1)2(xfb出现4个收敛子序列x4k,x4k+1,x4k+2,x4k+3)()4(4kkxfx平衡点及其稳定性需研究544.3449.3b时有4个稳定平衡点2n倍周期收敛,n=1,2,…bn~2n倍周期收敛的上界b0=3,b1=3.449,b2=3.544,…n,bn3.57x1*,x2*(及x*)不稳定b3.57,不存在任何收敛子序列混沌现象4倍周期收敛)1(1kkkxbxx的收敛、分岔及混沌现象lθmgf(1)0,无初速;单摆运动假设(2)绳的质量可不计,空气阻力与质点的线速度成正比,阻尼系数为k;(3)质点受一周期外力作用影响,沿切线方向.sinoutfbptmaf0,无初速)2(0)0(,)0(0单摆运动sinsingkbptlmmlsinsinmlmgklApt2sinsin(1)wApt在不大的条件下sin2(1)sin(3)wApt(3),(2)的解析解可求!eps=0.001;w=1;A=1;p=2;2sinwApt00.1phase1.meps=0.001;w=1;A=1;p=1.5;0较大时(1),(2)无解析解,如何求(t)?12xx122221sinsinxxxxwxApt102(0)(0)0xxeps=0.00;w=1;A=0;p=1.5;sin0phase2.meps=0.00;w=1;A=0.1;p=1.3;sinsinApteps=0.00;w=1;A=0.5;p=1.3;eps=0.00;w=1;A=0.5;p=1.7;eps=0.00;w=1;A=0.5;p=1.7;eps=0.001;w=1;A=0.5;p=1.7;2sinsinwApt5按年龄分组的种群增长•不同年龄组的繁殖率和死亡率不同•建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模•种群按年龄大小等分为n个年龄组,记i=1,2,…,n•时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2,…•以雌性个体数量为对象•第i年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi•第i年龄组在1时段内的死亡率为di,存活率为si=1-di1,,2,1),()1(1nikxskxiii假设与建模xi(k)~时段k第i年龄组的种群数量)()1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)](),(),([)(21~按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布000000121121nnnsssbbbbL~Leslie矩阵(L矩阵))()1(11kxbkxinii(设至少1个bi0)稳定状态分析的数学知识nkk,3,2,1•L矩阵存在正单特征根1,•若L矩阵存在bi,bi+10,则nkk,,3,2,1)0()(xLkxk11)],([PdiagPLnP的第1列是x*)0()0,0,1()(lim11xPPdiagkxkk*1)(limcxkxkk,c是由bi,si,x(0)决定的常数且解释L对角化11)],([PdiagPLknkk*cxTnnssssssx11121212111*,,,,1的特征向量1*)()1xckxk)()1()2kxkx稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk~种群按年龄组的分布趋向稳定,x*称稳定分布,与初始分布无关。~各年龄组种群数量按同一倍数增减,称固有增长率Tnssssssx121211*,,,1)()1(kxkxii)()1(kLxkx与基本模型比较3)=1时*)()1(cxkxkx~各年龄组种群数量不变~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析Tnssssx],,,,1[1211*,)()4*xckxk~存活率si是同一时段的xi+1与xi之比(与si的定义比较))()1(1kxskxiii1,,2,1),()(1nikxskxiii3)=1时**xLxTnssssssx121211*,,,1000000121121nnnsssbbbbL1.将某树群的树分成三类:幼树(树龄为0--10年)、成树(树龄10--40年)、老树(树龄在40年以上)。假定在每一个单位时间2年内(1)幼树中的51成长为成树,每一棵幼树平均繁殖21棵新树。(2)成树中的151成长为老树,每一棵成树平均繁殖1棵新树。(3)老树中的151要老死,每一棵老树平均繁殖15棵新树。试在没有采伐与有采伐的条件下,建立树群株数增长的差分方程(组)形式的数学模型。作业学期论文题目我国人口的预测CUMCM2007A题
本文标题:差分方程2--再论种群人口
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